Lema de Gauss

Lema de Gauss

En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si D\, es un dominio de factorización única (DFU) y \mathbb{K} es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en D es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo p\in D[x] es irreducible en ~D[x] si y sólo si lo es en \mathbb{K}[x].

El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en D[x] y la irreducibilidad del mismo polinomio en \mathbb{K}[x], puede demostrarse que al ser \mathbb{K}[x] un DFU también lo es D[x].

Así, se tiene como corolario que si D es un DFU entonces también lo es D[x], sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, \mathbb{Z}[x] no es un DIP pero sí es un DFU.

También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.


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