Recta de Euler

Recta de Euler
La recta de Euler pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro.

La recta de Euler de un triángulo es aquella que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro del mismo. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.

La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»
H. S. M. Coxeter en relación al trabajo de Euler.[1]

Contenido

Demostración

En un triángulo ABC, se determinan D como el punto medio del lado BC y E como el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE son medianas que se intersecan en el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O.

A continuación se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta un punto P, de modo que PG tenga el doble de longitud de GO (figura 1).

Al ser G baricentro, divide a las medianas en razón 2:1; es decir: AG=2GD. De este modo

\frac{AG}{GD} = 2 = \frac{PG}{GO}.

Por otro lado, los ángulos AGP y DGO son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes.

Pero de la semejanza se concluye que los ángulos PAG y ODG son iguales, y de este modo AP es paralela a OD. Finalmente, dado que OD es perpendicular a BC, entonces AP también lo será; es decir, AP es la altura del triángulo.

  • 1. Se construye PG de modo que tenga el doble de longitud de GO.

  • 2. Los triángulos AGP y DGO son semejantes.

  • 3. Las rectas DO y AP son paralelas. Por tanto AP es la altura del triángulo.

Un argumento similar prueba que los triángulos BPG y EOG son semejantes y por tanto BP también es la altura. Esto demuestra que P es el punto de intersección de las alturas y por tanto P=H; es decir, P es el ortocentro.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969). «1. Triángulos». Fundamentos de Geometry (Introduction to Geometry) (2a edición). Limusa-Wiley. ISBN 978-0471504580. 

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