Logaritmo de una matriz

En matemática, el logaritmo de una matriz es una función matricial que generaliza el logaritmo escalar a matrices. En cierto sentido es la función inversa de la exponenciación de matrices.

Contenido

1 Definición
2 Propiedades
3 Cálculo del logaritmo
- 3.1 Matriz diagonalizable
- 3.2 Matriz no diagonalizable
4 Véase también

Definición

Una matriz B es el logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:

$e^B = A. \,$

Propiedades

Una matriz tiene logaritmo sí y sólo sí es inversible (ya que si no fuera inversible su determinante sería cero, lo cual significa que algún valor propio es nulo, lo cual no permitiría definir el logaritmo de la matriz).
El logaritmo de una matriz puede ser una matriz compleja aún si todos sus elementos son números reales, si alguno de ellos es negativo.
En cualquier caso, el logaritmo no es único, es decir existe más de una matriz compleja $\scriptstyle A$ tal que $\scriptstyle \exp(A) = B$ .

Cálculo del logaritmo

Matriz diagonalizable

Un método para encontrar $\ln A \,$ para una matriz diagonalizable es el siguiente:

Encontrar la matriz V de vectores propios de A (cada columna de V es un autovector de A).
Encontrar la matriz inversa V⁻¹ de V.
Sea entonces

$\bar{A} = V^{-1} A V.\,$

$\bar{A}$ es una matriz diagonal cuyos elementos son los valores propios de A.

Reemplazar cada elemento de la diagonal de $\bar{A}$ por su logaritmo natural para obtener $\ln \bar{A}$ .

$\ln A = V ( \ln \bar{A} ) V^{-1}. \,$

Que el logaritmo de A puede ser una matriz compleja aún si A es real una consecuencia del hecho de que una matriz con valores reales puede llegar a tener valores propios complejos (por ejemplo, esto es cierto para las matrices de rotación). La no unicidad del logaritmo de una matriz es consecuencia de la no unicidad del logaritmo de un número complejo.

Matriz no diagonalizable

El algoritmo ilustrado arriba no funciona para matrices no diagonalizables, como:

$\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}.$

Para este tipo de matrices se necesita encontrar su forma canónica de Jordan y, más que calcular los logaritmos de la diagonal como ocurría para las matrices diagonalizables, uno calcula el logaritmo de los elementos de la matriz de Jordan.

Lo último se logra al notar que uno puede escribir un bloque de Jordan como:

$B=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \\\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 & \lambda^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \lambda^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \lambda^{-1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \lambda^{-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}=\lambda(I+K)$

Dónde K es una matriz con ceros en y debajo de la diagonal. (El número λ no es cero por la suposición de que la matriz cuyo logaritmo uno intenta calcular es inversible.)

Entonces, por la fórmula

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$

se obtiene:

$\ln B=\ln \big(\lambda(I+K)\big)=\ln (\lambda I) +\ln (I+K)= (\ln \lambda) I + K-\frac{K^2}{2}+\frac{K^3}{3}-\frac{K^4}{4}+\cdots$

Esta serie en general, no converge para ninguna matriz K, como tampoco lo hace para ningún número real con valor absoluto mayor a la unidad. No obstante, esta matriz K en particular, es una matriz nilpotente, por lo tanto la serie tiene un número finito de términos (K^m es cero si m es la dimensión de K).

Utilizando este enfoque se encuentra:

$\ln \begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}.$

Véase también

Categorías:

Logaritmos
Matrices

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

Exponencial de una matriz — La exponencial de matrices es una función definida sobre las matrices cuadradas, parecida a la función exponencial. Sea una matriz nxn de números reales o complejos, la exponencial de denotada por o es la matriz dada por la serie de potencia … Wikipedia Español
Logaritmo complejo — Una única rama del logaritmo complejo. El tono del color se utiliza para mostrar el argumento (ángulo de coordenadas polares) del logaritmo complejo. La intensidad del color se utiliza para mostrar el módulo del logaritmo complejo. La página con… … Wikipedia Español
Logaritmo — Logaritmos Gráfica de Logaritmos Definición … Wikipedia Español
Logaritmo binario — Gráfica de log 2x En matemática el logaritmo binario o logaritmo en base 2: y = log 2(x) es la función matemática que determina a que valor y hay que elevar 2 para obtener x, es un caso particular de logaritmos en el que la base … Wikipedia Español
Matriz de sustitución — Matriz PAM70 para 23 aminoácidos, calculada con el servicio web del Wageningen University Laboratory of Bioinformatic … Wikipedia Español
Número e — e} es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la… … Wikipedia Español
Exponencial de matrices — Saltar a navegación, búsqueda La exponencial de matrices es una función definida sobre las matrices cuadradas, parecida a la función exponencial. Sea X una matriz nxn de números reales o complejos. La exponencial de X denotada por eX o exp(X) es… … Wikipedia Español
Complejidad y criptografía — La criptografía es la ciencia encargada del estudio y diseño de sistemas que permiten ocultar información. Desde sus inicios, esta capacidad de encubrimiento se ha basado en la dificultad que supondría a una entidad no autorizada el obtener la… … Wikipedia Español
BLOSUM — Saltar a navegación, búsqueda La matriz BLOSUM 62. BLOSUM (BLOcks of Amino Acid SUbstitution Matrix, o matriz de sustitución de bloques de aminoácidos) es una matriz de sustitución utilizada para el alineamiento de secuencias de proteínas. BLOSUM … Wikipedia Español
Distribución normal multivariante — Saltar a navegación, búsqueda Normal multivariante Función de distribución de probabilidad Parámetros (vector real) Σ matriz de covarianza (matriz real definida positiva de dimensión … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Logaritmo de una matriz

Contenido

Definición

Propiedades