- Exponencial de matrices
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Exponencial de matrices
La exponencial de matrices es una función definida sobre las matrices cuadradas, parecida a la función exponencial. Sea X una matriz nxn de números reales o complejos. La exponencial de X denotada por eX o exp(X) es la matriz nxn dada por la serie de potencias
Esta serie converge para toda matriz X. Obsérvese que si la matriz X es una matriz 1x1 la exponencial de X corresponde con la exponencial ordinaria.
Contenido
Propiedades
Sean X e Y dos matrices nxn, a y b dos números complejos cualesquiera. Denotemos con I a la matriz identidad y con 0 la matriz nula. Entonces
- Matriz identidad: .
- Linealidad: .
- . Esta es consecuencia de las dos anteriores.
- Matriz inversa: consecuencia de la anterior.
- Relación traza-determinante: .
- , donde denota la transpuesta de la matriz X.
- Preservación de la comuntación: Si entonces .
- Si es invertible entonces .
- Acotación de la norma:
Se sigue que si X es simétrica, entonces su exponencial también lo es. Si X es antisimétrica su exponencial es ortogonal.
- donde denota la conjugada transpuesta de X.
Se sique que si X es hermítica entonces su exponencial también lo es. Si X es antihermítica entonces su exponencial es unitaria.
Cálculo de la exponencial de matrices
Matrices diagonales y diagonalizables
Si una matriz A es diagonal:
entonces su exponencial se obtiene tomando las exponenciales de cada uno de los elementos de la diagonal principal:
Una matriz es diagonalizable entonces:
Donde es una matriz diagonal y es un matriz no singular puede elegirse como una matriz unitaria. La exponenciación de matrices diagonalizables puede reducirse al caso de la exponencial de una matriz diagonal, sin más que usar la propiedad 5 mencionada arriba tenemos:
Matrices que admiten forma de Jordan
La exponencial de una matriz que tiene de bloque de Jordan es muy sencilla:
Se dice que una matriz admite forma canónica de Jordan cuando existe otra matriz no singular tal que:
Siendo una matriz triangular formada por bloques de Jordan (es decir, cuya diagonal principal contiene los autovalores de y sólo la diagonal superior a la principal tiene algunos "1"). En ese caso la exponencial
Aplicaciones
- Dado un sistema de sistema de ecuaciones diferenciales lineal con coeficientes constantes es un sistema de la forma:
- Donde representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:
Véase también
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