Matriz normal

Matriz normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

A^{*}A=AA^{*}\,

donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Ejemplos

Esta matriz de orden 2 es normal.

\begin{pmatrix} -i & -i \\ -i & i \end{pmatrix}

debido a que ..

\begin{pmatrix} -i & -i \\ -i & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -i & -i \\ -i & i \end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix} -i & -i \\ -i & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i & i \\ i & -i \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & i \\ i & -i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -i & -i \\ -i & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i & -i \\ -i & i \end{pmatrix}^*\begin{pmatrix} -i & -i \\ -i & i \end{pmatrix}

Propiedades

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.

Demostración:

Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:

A = QUQ *


Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior. Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:

  • ak1 = 0 \forall k=2, .. , n (1)
  • ak2 = 0 \forall k=3, .. , n (2)
  • ...
  • akn − 1 = 0 con \, \, k=n (n-1)


Usando el hecho que A es normal:

A * A = (QUQ * ) * (QUQ * ) = QU * (Q * Q)(a)UQ * = QU * UQ *

Idénticamente.

(QUQ * )(QUQ * ) * = QUU * Q *

Postmultiplicando por Q y luego premultiplicando por Q * obtenemos: U * U = UU *

Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:

\begin{matrix} & & \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{bmatrix} \\ U^*U = \begin{bmatrix} \overline{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\ \overline{a_{12}} & \overline{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{n-1n}} & \overline{a_{nn}} \end{bmatrix} & & \end{matrix}


\begin{matrix} & & \begin{bmatrix} \overline{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\ \overline{a_{12}} & \overline{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{n-1n}} & \overline{a_{nn}} \end{bmatrix} \\ UU^* = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{bmatrix} & & \end{matrix}


Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.

(U^*U)_{ii} = \sum_{j=1}^n { a_{ij}*\overline{a_{ji}} } = \sum_{j=1}^n {||a_{ij}||^2}


(UU^*)_{ii} = \sum_{j=1}^n { \overline{a_{ij}}*a_{ji} } = \sum_{j=1}^n {||a_{ji}||^2}

Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)

  • Caso i=1: (U * U)11 = (UU * )11


\sum_{j=1}^n {||a_{1j}||^2}=\sum_{j=1}^n {||a_{j1}||^2}


Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.

||a_{11}||^2 + \sum_{j=2}^n {||a_{1j}||^2}=||a_{11}||^2 + \sum_{j=2}^n {||a_{j1}||^2}


Usando (1)

\sum_{j=2}^n {||a_{1j}||^2} = 0

Por lo tanto, a1j = 0 \forall j=2, .. , n


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