Matriz nilpotente

Matriz nilpotente

En álgebra lineal, una matriz N \in M_{n.n}(K) se dice que es nilpotente si existe k \in \mathbb{N} tal que N^k = 0\,.

Contenido

Teorema

Si A\, es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero.

Demostración

Si A es una matriz nilpotente de orden k, A^k=0\,

Por lo tanto: \det(A^k)=0\,

Luego: \det(A)^k=0\, por lo que \det(A)=0\,

Ejemplos

La matriz

M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

es nilpotente, ya que M2 = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con 0s a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

N = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

es nilpotente, con

N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ;\ N^3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ;\ N^4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de cero de las entradas, una típica matriz nilpotente no lo tiene. Por ejemplo, las matrices

\begin{bmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{bmatrix}\qquad\text{y}\qquad \begin{bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ 15 & -9 & 6 \\ 10 & -6 & 4 \end{bmatrix}

ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

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