Matriz nilpotente

Matriz nilpotente

En álgebra lineal, una matriz N \in M_{n.n}(K) se dice que es nilpotente si existe k \in \mathbb{N} tal que N^k = 0\,.

Contenido

Teorema

Si A\, es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero.

Demostración

Si A es una matriz nilpotente de orden k, A^k=0\,

Por lo tanto: \det(A^k)=0\,

Luego: \det(A)^k=0\, por lo que \det(A)=0\,

Ejemplos

La matriz

M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

es nilpotente, ya que M2 = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con 0s a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

N = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

es nilpotente, con

N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ;\ N^3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ;\ N^4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de cero de las entradas, una típica matriz nilpotente no lo tiene. Por ejemplo, las matrices

\begin{bmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{bmatrix}\qquad\text{y}\qquad \begin{bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ 15 & -9 & 6 \\ 10 & -6 & 4 \end{bmatrix}

ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Mira otros diccionarios:

  • Matriz nilpotente — Una matriz se dice nilpotente si existe tal que . Si A es una matriz nilpotente entonces |A|=0 …   Enciclopedia Universal

  • Nilpotente — En matemática, un elemento x de un anillo R se dice que es nilpotente si existe algún entero positivo n tal que xn = 0. Contenido 1 Ejemplos 2 Propiedades 3 Nilpotencia en física …   Wikipedia Español

  • Matriz cero — Una matriz de nxm elementos: es una matriz cero si para todo i = 1,2,3,...,n y j = 1,2,3,...m. Por lo tanto, en tal caso, la matriz A asume la forma: Esta matriz también se suele llamar matriz nula y se denota por 0. Obviamente una matriz cero es …   Enciclopedia Universal

  • Matriz cero — En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son: Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn definida sobre un anillo K… …   Wikipedia Español

  • Logaritmo de una matriz — En matemática, el logaritmo de una matriz es una función matricial que generaliza el logaritmo escalar a matrices. En cierto sentido es la función inversa de la exponenciación de matrices. Contenido 1 Definición 2 Propiedades 3 Cálculo del… …   Wikipedia Español

  • Forma canónica de Jordan — Saltar a navegación, búsqueda En álgebra lineal, la forma canónica de Jordan es la forma de la matriz de un endomorfismo de espacios vectoriales en cierta base asociada a la descomposición en suma directa de subespacios invariantes bajo dicho… …   Wikipedia Español

  • Factorización de Schur — Saltar a navegación, búsqueda En álgebra lineal, la descomposición de Schur o triangulación de Schur es una importante descomposición matricial. Definición Si A es una matriz cuadrada sobre números complejos, entonces A puede descomponerse como… …   Wikipedia Español

  • Vector propio y valor propio — Fig. 1. En esta transformación de la Mona Lisa, la imagen se ha deformado de tal forma que su eje vertical no ha cambiado. (nota: se han recortado las esquinas en la imagen de la derecha) …   Wikipedia Español

  • Teorema de Cayley-Hamilton — En álgebra lineal, el teorema de Cayley Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio… …   Wikipedia Español

  • Grupo de Lie — Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”