Matriz semejante

En álgebra lineal, se dice que dos matrices A y B de n-por-n sobre el cuerpo K son semejantes si existe una matriz invertible P de n-por-n sobre K tal que:

P ⁻¹AP = B.

Uno de los significados del término transformación de semejanza es una transformación de la matriz A en la matriz B.

En teoría de grupos, la semejanza se llama clase de conjugación.

Propiedades

Las matrices semejantes comparten varias propiedades:

• poseen el mismo rango,
• el mismo determinante,
• la misma traza,
• los mismos valores propios (aunque los vectores propios, en general, serán distintos),
• el mismo polinomio característico, y
• el mismo polinomio mínimo.

Hay dos razones para estas características:

1. dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de una misma transformación lineal, pero con respecto a bases distintas;
2. la transformación X P⁻¹XP es un automorfismo del álgebra asociativa de todas las matrices de n-por-n.

Debido a esto, para una matriz A dada, estamos interesados en encontrar una "forma normal" sencilla B que sea semejante a A: el estudio de A se reduce de esta manera al estudio de la matriz semejante (y más sencilla) B. Por ejemplo, A se llama diagonalizable si es similar a una matriz diagonal. No todas las matrices son diagonalizables, pero por lo menos sobre los números complejos (o cualquier cuerpo algebraicamente cerrado), toda matriz es semejante a una matriz en forma de Jordan. Otra forma normal, la forma canónica racional, se aplica en cualquier campo. Observando las formas de Jordan o las formas canónicas racionales de A y B, puede decidirse inmediatamente si A y B son semejantes.

La semejanza de matrices no depende del cuerpo base: si L es un cuerpo conteniendo a K como subcuerpo, y A y B son dos matrices en K, entonces A y B son semejantes como matrices sobre K si y solo si son semejantes como matrices sobre L. Esto es bastante útil: uno puede agrandar en forma segura el cuerpo K, por ejemplo para obtener un cuerpo algebraicamente cerrado; las formas de Jordan pueden computarse sobre el cuerpo grande y puede usarse para determinar si las matrices dadas son semejantes sobre el cuerpo pequeño. Este método puede usarse, por ejemplo, para mostrar que toda matriz es semajante a su traspuesta.

Si en la definición de semejanza, la matriz P puede elegirse para que sea una matriz de permutación, entonces A y B son semejantes en permutación; si P puede elegirse para que sea una matriz unitaria, entonces A y B son unitariamente equivalentes. El teorema espectral establece que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal.

Matrices congruentes

Otra relación de equivalencia importante para matrices reales es la congruencia.

Dos matrices reales A y B se llaman congruentes si hay una matriz regular real P tal que:

P^TAP = B.

Aplicaciones

• En bioinformática, las matrices de similaridad se usan para alineamiento de secuencias.

Cambios de base

Recordemos que un endomorfismo es una aplicación lineal entre un mismo espacio vectorial , es decir, tal que:

Entre el espacio vectorial de los endomorfismos y el anillo de las matrices cuadradas existe un isomorfismo que, fijada una base en , asigna una única matriz a cada endomorfismo (por supuesto si se cambia de base, la matriz también cambiará).

Supóngase que se tienen dos bases de llamadas de modo que

En lo que siguen usaremos el convenio de sumación de Einstein para hacer más ligera la notación. Sean ahora y las matrices asociadas al endomorfismo en las respectivas bases de modo que f(v_i) = a_ijv_j y , entonces las matrices se relacionan por:

es decir hay una relación de similaridad entre ellas.