Módulo de compresibilidad

Módulo de compresibilidad
Ilustración de compresión uniforme.

El módulo de compresibilidad (K\,) de un material mide su resistencia a la compresión uniforme y, por tanto, indica el aumento de presión requerido para causar una disminución unitaria de volumen dada.

El módulo de compresibilidad K\, se define según la ecuación:

K=-\frac{\Delta p}{\Delta V / V} = -V\frac{\Delta p}{\Delta V}

donde p\, es la presión, V\, es el volumen, \Delta p\, y \Delta V\, denotan los cambios de la presión y de volumen, respectivamente. El módulo de compresibilidad tiene dimensiones de presión, por lo que se expresa en pascales (Pa) en el Sistema Internacional.

El inverso del módulo de compresibilidad indica la compresibilidad de un material y se denomina coeficiente de compresibilidad.

Ejemplo

Para r bola de hierro, con un módulo de compresibilidad de 160 GPa (gigapascales) en un 0.5%, se requiere un aumento de la presión de 0.005×160 GPa = 0.8 GPa. Alternativamente, si la bola es comprimida con una presión uniforme de 100 MPa, su volumen disminuirá por un factor de 100 MPa/160 GPa = 0.000625 o 0.0625%.

Usos

Aunque para el tratamiento de sólidos el efecto del módulo de compresibilidad es muchas veces ignorado en favor de otros módulos, como el módulo de Young, para el tratamiento de fluidos, solo el módulo de compresibilidad es representativo. En situaciones en las que un sólido se comporta como un fluido, como por ejemplo en balística terminal, el módulo de compresibilidad no puede ser ignorado.

Estrictamente hablando, el módulo de compresibilidad es un parámetro termodinámico, y por tanto es necesario especificar las condiciones particulares en las que se produce el proceso de compresión, lo que da lugar a la definición de diferentes módulos de compresibilidad. Los más importantes, aunque no los únicos, son:

  • Si durante el proceso de compresión la temperatura permanece constante, tenemos el coeficiente de compresibilidad isotérmico, (KT).

K_T = -\frac{1}{V}\left (\frac{\partial V}{\partial p}\right )_T

  • Si el proceso de compresión es adiabático, tenemos el coeficiente de compresibilidad adiabático, (KS).

K_S = -V\left (\frac{\partial V}{\partial p}\right )_S

En la práctica, estas distinciones son solo relevantes para gases.

Módulo de compresibilidad para distintas substancias
Agua 2.2×109 Pa (este valor aumenta a mayores presiones)
Aire 1.42×105 Pa (módulo de compresibilidad adiabático)
Aire 1.01×105 Pa (módulo de compresibilidad isotérmico)
Acero 1.6×1011 Pa
Cristal 3.5×1010 to 5.5×1010 Pa
Diamante 4.42×1011 Pa[1]
Helio sólido 5×107 Pa (aproximado)

En un gas ideal, los módulos de compresibilidad isotérmico y adiabático vienen dados por

K_T = \frac{1}{p}\ \qquad K_S=\gamma p\,

donde

p es la presión y
γ es el coeficiente adiabático.

En un fluido, el módulo de compresibilidad K y la densidad ρ determinan la velocidad del sonido c (ondas de presión), según la fórmula

c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}

Referencias

  1. ↑ Phys. Rev. B 32, 7988 - 7991 (1985), Calculation of bulk moduli of diamond and zinc-blende solids
Módulos de elasticidad para materiales homogeneos isótropos
Módulo de compresibilidad (K) • Módulo de Young (E) • Primer parámetro de Lamé (λ) • Módulo de cizalladura (G) • Coeficiente de Poisson (ν) • Módulo de onda P (M)
Fórmulas de conversión
Los materiales elásticos lineales isótropos homogéneos tienen sus propiedades elásticas únicamente determinadas por dos módulos cualesquiera de los especificados anteriormente, por lo tanto, cualquier otro módulo de elasticidad puede ser calculado de acuerdo a estas fórmulas.
(\lambda,\,G) (E,\,G) (K,\,\lambda) (K,\,G) (\lambda,\,\nu) (G,\,\nu) (E,\,\nu) (K,\, \nu) (K,\,E) (M,\,G)
K=\, \lambda+ \frac{2G}{3} \frac{EG}{3(3G-E)} \lambda\frac{1+\nu}{3\nu} \frac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)} \frac{E}{3(1-2\nu)} M - \frac{4G}{3}
E=\, G\frac{3\lambda + 2G}{\lambda + G} 9K\frac{K-\lambda}{3K-\lambda} \frac{9KG}{3K+G} \frac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu} 2G(1+\nu)\, 3K(1-2\nu)\, G\frac{3M-4G}{M-G}
\lambda=\, G\frac{E-2G}{3G-E} K-\frac{2G}{3} \frac{2 G \nu}{1-2\nu} \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} \frac{3K\nu}{1+\nu} \frac{3K(3K-E)}{9K-E} M - 2G\,
G=\, 3\frac{K-\lambda}{2} \lambda\frac{1-2\nu}{2\nu} \frac{E}{2(1+\nu)} 3K\frac{1-2\nu}{2(1+\nu)} \frac{3KE}{9K-E}
\nu=\, \frac{\lambda}{2(\lambda + G)} \frac{E}{2G}-1 \frac{\lambda}{3K-\lambda} \frac{3K-2G}{2(3K+G)} \frac{3K-E}{6K} \frac{M - 2G}{2M - 2G}
M=\, \lambda+2G\, G\frac{4G-E}{3G-E} 3K-2\lambda\, K+\frac{4G}{3} \lambda \frac{1-\nu}{\nu} G\frac{2-2\nu}{1-2\nu} E\frac{1-\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} 3K\frac{1-\nu}{1+\nu} 3K\frac{3K+E}{9K-E}

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