Movimiento armónico simple

Movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado m.v.a.s.), es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s..

En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.

Contenido

Cinemática del movimiento armónico simple

Evolución en el tiempo del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en un movimiento armónico simple.

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.

Ecuación del movimiento

Elongación

En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia x\, a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que F_{x} = - kx\, donde k\, es una constante positiva y x\, es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

(1)  m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k x

Siendo m\, la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo \scriptstyle \omega^{2} = k/m se obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:

(2)  \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x

La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma

(3)  x(t) = A \sin(\omega t + \phi)\,

donde:

x\, es la elongación de la partícula.
A\, es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
\omega\, es la frecuencia angular
t\, es el tiempo.
\phi\, es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:

(4) f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}, y por lo tanto el periodo como T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión  x(t) = A  \sin(\omega t + \phi)\,.

Velocidad

La velocidad es la variación del espacio respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación del espacio respecto al tiempo:

(5)  v =  \omega A \, \cos(\omega t + \phi)

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

(6)  
a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -\omega^2 A \, \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)\,

Amplitud y fase inicial

La amplitud A y la fase inicial \phi\, se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongación x0 y de la velocidad v0 iniciales.

(7) 
x_{0} = 
A \cos\phi \qquad\Rightarrow\qquad
x_{0}^2 = A^{2} \cos^{2} \phi

(8) 
v_{0} = 
 \omega A \sin\phi \qquad\Rightarrow\qquad
v_{0}^{2} = \omega^{2} A^{2} \sin^{2}\phi \qquad\Rightarrow\qquad \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = 
A^{2}\sin^{2} \phi

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(9) 
x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = 
A^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) = A^{2}
\qquad\Rightarrow\qquad 
A = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(10) 
\frac{v_0}{x_0}= 
\frac{-\omega A\sin\phi}{A\cos\phi}=-\omega\tan\phi 
\qquad \Rightarrow \qquad\phi =\arctan\left(-\frac{v_0}{\omega x_0}\right)

Dinámica del movimiento armónico simple

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa posición.

(11) F=-k\, x

Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle.

Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

(12)  F=-k\, x=m\, a\qquad\Rightarrow\qquad a=-\frac{k}{m}x

Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:

(13) \omega^{2}=\frac{k}{m}

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

(14) 
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Energía del movimiento armónico simple

Energía del movimiento armónico simple frente a la elongación.

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(15)  E_p = \frac{1}{2} kx^2

La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.

La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

(16)  E_{c}=\frac{1}{2}m\, v^{2}

La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

(17)  E_{c}^{max}=\frac{1}{2}m\,\omega^{2}A^{2}

Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.

(18)  E_p + E_c = E_m \,

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = − A y x = A. Se obtiene entonces que,

(19) E_{m} = E_p^{max} + 0 = \frac{1}{2} k A^{2}

O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio x = 0

(20) E_{m} = 0 + E_c^{max} = \frac{1}{2} m\,\omega^{2}A^{2}

Ejemplos

Medición de masa en ingravidez

En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armónico simple para realizar tal medición.

Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo (experimento M172[1] ) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilación T electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:

(21) 
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \quad \Rightarrow \quad m = \left ( \frac{T}{2 \pi} \right )^{2} k

Véase también

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

  • Movimiento armónico simple — Se dice que un punto sigue un movimiento armónico simple cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén; en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección… …   Enciclopedia Universal

  • Movimiento armónico complejo — Un movimiento armónico complejo es un movimiento superposición lineal de movimientos armónicos simples. Aunque un movimiento armónico simple es siempre periódico, un movimiento armónico complejo no necesariamente es periódico, aunque sí puede ser …   Wikipedia Español

  • Movimiento circular — Movimiento circular. En cinemática, el movimiento circular (llamado también movimiento circunferencial) es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es… …   Wikipedia Español

  • Movimiento (física) — Para otros usos de este término, véase Movimiento. El movimiento es un cambio de posición respecto del tiempo. En mecánica, el movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición en el espacio que experimentan los cuerpos… …   Wikipedia Español

  • Movimiento oscilatorio — La exactitud de la información en este artículo o sección está discutida. En la página de discusión puedes consultar el debate al respecto …   Wikipedia Español

  • Movimiento rectilíneo — En el movimiento rectilíneo, la trayectoria que describe el móvil es una línea recta. Algunos tipos notables de movimiento rectilineo son: Movimiento rectilíneo uniforme: cuando la velocidad es constante. Movimiento rectilíneo uniformemente… …   Wikipedia Español

  • Movimiento — ► sustantivo masculino 1 Acción y resultado de mover, moverse o ser movido: ■ hacía movimientos circulares con los brazos. 2 Cambio de situación o posición de un cuerpo en el espacio: ■ cuando volví ya se había producido un movimiento de piezas… …   Enciclopedia Universal

  • Movimiento circular uniforme — El módulo del vector velocidad es constante en un movimiento circular uniforme. En física, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una trayectoria circular. Aunque la rapidez del… …   Wikipedia Español

  • Movimiento periódico — Un movimiento periódico es el tipo de evolución temporal que presenta un sistema cuyo estado se repite exactamente a intervalos regulares de tiempo. El tiempo mínimo T necesario para que el estado del sistema se repita se llama período. Si el… …   Wikipedia Español

  • Oscilador armónico — Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”