Multiplicadores de Lagrange

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.

Contenido

1 Introducción
2 El método de los multiplicadores de Lagrange
3 Ejemplos
4 Enlaces externos

Introducción

Consideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemos la función, f (x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a la condición:

g (x, y) = c,

donde c es una constante. Podemos visualizar las curvas de nivel de f dadas por

f (x, y) = d n

para varios valores de d_n, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g serán distintas, y la curva g = c por lo general intersecará y cruzará muchos contornos de f. En general, moviéndose a través de la línea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Solo cuando g=c, el contorno que estamos siguiendo toca tangencialmente, pero no lo corta, una curva de nivel de f no incrementamos o disminuimos el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido y los puntos de inflexión restringidos de f.

Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatológicos, con sus curvas de nivel de presión y temperatura (isóbaras e isotermas respectivamente): el extremo restringido ocurrirá donde los mapas superpuestos muestren curvas que se tocan.

Geométricamente traducimos la condición de tangencia diciendo que los gradientes de f y g son vectores paralelos en el máximo. Introduciendo un nuevo escalar, λ, resolvemos

$\nabla$ [f(x, y) - λ (g(x, y) − c)] = 0

para λ ≠ 0.

Una vez determinados los valores de λ, volvemos al número original de variables y así continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuación no restringida.

F (x, y) = f (x, y) - λ(g (x, y) - c)

de forma tradicional. Eso es, $F (x, y) = f (x, y)$ para todo (x, y) satisfaciendo la condición porque $g (x, y) - c$ es igual a cero en la restricción, pero los ceros de $\nabla$ F(x, y) están todos en $g (x, y) = c$ .

El método de los multiplicadores de Lagrange

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rⁿ}. Se definen s restricciones g_k (x) = 0, k=1,...,s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

$h(\mathbf x, \mathbf \lambda) = f - \sum_{k=1}^s \lambda_k g_k$

Se procede a buscar un extremo para h

$\frac{\partial h}{\partial x_i} = 0,$

lo que es equivalente a

$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_k^s \lambda_k \frac{\partial g_k}{\partial x_i}.$

Demostración

Comenzemos con el caso de una restricción.

Sea una superficie M contenida en Rⁿ definida por g(x)=0 y sea f(x) la función a obtener su punto critico. Si p $\in$ M un punto crítico entonces se ha de cumplir:

$\nabla f\cdot v=0$

para todo v vector tangente a M en p (es decir, sea cual sea la dirección en la que nos desplacemos en M, el incremento de f a primer orden es nulo) La anterior condición significa que $\nabla f$ es perpendicular al tangente a M en p y dado que dim M=n-1 existe un único vector perpendicular linealmente independiente que viene dado por $\nabla g$ , de modo que se tiene:

$\nabla f=\lambda \nabla g$

para algún número $λ$

En el caso de que M este definida por varias restricciones $g 1,..., g k$ el conjunto de vectores perpendiculares al tangente a M en p viene generado por $\nabla g_1, \nabla g_2,...\nabla g_k$ de modo que al ser $\nabla f$ perpendicular al tangente a M en p este ha ser de la forma:

$\nabla f=\lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2+...+\lambda_k\nabla g_k$

para unos ciertos números $λ 1,...,λ k$

Los multiplicadores desconocidos λ_k se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. g_k=0), lo que implica que f ha sido optimizada

El método de multiplicadores de Lagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.

Ejemplos

Ejemplo #1

Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima entropía. Entonces

$f(p_1,p_2,\ldots,p_n) = -\sum_{k=1}^n p_k\log_2 p_k.$

$g(p_1,p_2,\ldots,p_n)=\sum_{k=1}^n p_k=1.$

Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n, necesitamos

$\frac{\partial}{\partial p_k}(f+\lambda (g-1))=0,$

lo que nos da

$\frac{\partial}{\partial p_k}\left(-\sum_{k=1}^n p_k \log_2 p_k + \lambda\sum_{k=1}^n p_k - \lambda\right) = 0.$

Derivando estas n ecuaciones, obtenemos

$-\left(\frac{1}{\ln 2}+\log_2 p_k \right) + \lambda = 0.$

Esto muestra que todo p_i es igual (debido a que depende solamente de λ). Usando la restricción ∑_k p_k = 1, encontramos

$p_k = \frac{1}{n}.$

Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la mayor entropía.

Ejemplo #2

Determinar los puntos en la esfera $x 2 + y 2 + z 2 = 4$ que están más cercanos al punto $(3,1, - 1)$

la distancia al punto $(3,1, - 1)$ :

$d=\sqrt{(x-3)^{2}+(y-1)^{2}+(z+1)^{2}}$

para hacer mas secilla la operación se maximiza o minimiza el cuadrado de la distancia:

$d 2 = f (x, y, z) = (x - 3) 2 + (y - 1) 2 + (z + 1) 2$

la restricción: $g (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = 4$

De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelven las ecuaciones " $\bigtriangledown f = \lambda\bigtriangledown g$ " y " $g = 4$ " y el resultado es:

                          (1)  $2(x - 3) = 2 x λ$ 
                          (2)  $2(y - 1) = 2 y λ$ 
                          (3)  $2(z + 1) = 2 z λ$ 
                          (4)  $x 2 + y 2 + z 2 = 4$

la manera mas sencilla de resolver estas ecuaciones es dejar x,y,z en función de $λ$ y luego sustituimos en la ecuación (4).

de la ecuación (1) obtenemos $x=\frac{3}{1-\lambda}$ se observa que $λ$ ≠ 1 por que si $λ = 1$ no se puede realizar la operación.

lo mismo sucede con la ecuación (2) y (3)

$y=\frac{1}{1-\lambda}$ $z=-\frac{1}{1-\lambda}$

sustituyendo en la ecuación (4)

$\frac{3}{1-\lambda}^{2}+\frac{1}{1-\lambda}^{2}-\frac{1}{1-\lambda}^{2}=4$

el valor de $\lambda = 1_{-}^{+}\frac{\sqrt{11}}{2}$

entonces los puntos (x,y,z) son :

$(\frac{6}{\sqrt{11}},\frac{2}{\sqrt{11}},-\frac{2}{\sqrt{11}})$ y $(-\frac{6}{\sqrt{11}},-\frac{2}{\sqrt{11}},\frac{2}{\sqrt{11}})$

se puede observar que el punto mas cercano entonces es $(\frac{6}{\sqrt{11}},\frac{2}{\sqrt{11}},-\frac{2}{\sqrt{11}})$

Ejemplo #3

$f (x, y, z) = y z + x y$

Restricciones:
$x y = 1$

$y 2 + z 2 = 1$

Aplicar el método:
$\underset{\bigtriangledown}{\rightarrow} f=(y,z+x,y)$

$\underset{\bigtriangledown}{\rightarrow} g=(y,x,0)$

$\underset{\bigtriangledown}{\rightarrow} h=(0,2y,2z)$

$y = λ y$

$z + x = x λ + 2μ y$

$y = 2μ z$

$x y = 1$

$y 2 + x 2 = 1$

$x\neq 0$

$y\neq 0$

$λ = 1$

$z + x = x + 2μ y$

$z = 2μ y$

$y = 4μ 2 y$

$y = z$

$2 y 2 = 1$

$y=\sqrt{1/2}$

$z=\sqrt{1/2}$

$x=\sqrt{2}$

Enlaces externos

Muchos Ejemplos resueltos y teoría (Español)
Para referencias del trabajo original de Lagrange(Inglés)
[1]Applet (Inglés)
Tutorial y applet(Inglés)
Introducción Conceptual (más un acercamiento de la relación multiplicadores de Lagrange y el cálculo de variaciones como se usan en Física) (Inglés)
[2] (tutorial hecho por Dan Klein) (Inglés)
http://valle.fciencias.unam.mx/intermat/ArticuloLag/articuloPDFb.pdf (Método de Multiplicadores de Lagrange: Una Versión Animada. José D. Flores, PhD. Professor of Mathematics, The University of South Dakota)
Alejandro Jofré, Patricio Felmer, Paul Bosch, Matías Bulnes, Arturo Prat, Luis Rademacher, José Zamora, y Mauricio Vargas. "Cálculo en Varias Variables - Apunte Completo" (2011). Disponible en: http://works.bepress.com/mvargas/1

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Cálculo multivariable

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