La paradoja de la banda elástica no es una paradoja en sentido estricto, pero choca con nuestro sentido común debido a que tiene una solución que parece imposible.

Contenido 1 Enunciado 2 Explicación 3 Explicación matemática 4 Véase también

Enunciado

Nos encontramos con una esfera perfectamente lisa con un millón de veces el tamaño de nuestro Sol. Una banda de acero abraza estrechamente a esta esfera alrededor del ecuador.

Esta banda de acero se alarga en 1 metro, de manera que se eleve de la esfera a igual altura en todo su contorno. ¿Esto dejará la banda despegada de la esfera a una altura suficiente como para poder:

1. ¿Deslizar un papel bajo la banda? 2. ¿Deslizar una mano bajo la banda? 3. ¿Deslizar una pelota de tenis bajo la banda?

Aunque a priori la respuesta que daríamos es que es imposible siquiera que un papel pase bajo la banda, la respuesta correcta es que se puede incluso pasar la pelota de tenis, ya que la banda se despega de la esfera unos 16 cm.

Explicación

La altura a la que se elevará la banda de la esfera es la misma independientemente del tamaño de la esfera, por muy grande que sea. El porqué de este hecho es el siguiente: Cuando la banda de la esfera está tensa alrededor de la esfera, es la circunferencia de un círculo con un radio que es el radio de la esfera. Sabemos a partir de la geometría plana que la circunferencia de un círculo es igual a su diámetro (que es el doble de su radio) multiplicado por el número π.

π es 3,14159... es decir, ligeramente mayor que 3. Por tanto, si aumentamos la circunferencia de cualquier círculo en un metro, debemos incrementar el diámetro un poquito menos que el tercio de metro, es decir, algo más de 31 cm. Eso significa que el radio aumentará 16 cm.

Esto funciona con esferas de cualquier tamaño, ya sean mil billones de veces el tamaño del Sol o del tamaño de una naranja.

Explicación matemática

Matemáticamente esto se puede expresar como:

L₀: Longitud circunferencia original

D₀: Diámetro del círculo original

L₁: Longitud circunferencia ampliada

D₁: Diámetro del círculo ampliado

π: número pi (3.1415....)

Entonces:

L₀ = π x D₀ (1)

L₁ = π x D₁ (2)

L₁ = L₀ + 1m (3)

Reemplazando L₁ de la ecuación (3) en la ecuación (2) obtenemos:

L₀ + 1m = π x D₁

Reemplazando L₀ de la ecuación (1) en la ecuación anterior obtenemos:

π x D₀ +1m = π x D₁

dividiendo por π ambos miembros de la igualdad

D₀ + 1m/π = D₁

D₁ = D₀ + 0.3183... m

O sea el nuevo diámetro es unos 32 cm mayor que el original, independientemente del diámetro original.

Véase también

• Paradoja
• Esfera
• Pi