Serie de Laurent

Serie de Laurent

En matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por Karl Weierstrass en el año de 1841; pero no se divulgó en ese entonces. El matemático Pierre Alphonse Laurent fue quien la publicó en el año 1843.

Contenido

Definición

Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto c\, es una serie de la forma:

\sum_{k=-\infty}^\infty a_k (z-c)^k donde a_k, c, z \in \mathbb{C}.

Podemos demostrar que esta serie es convergente dentro del conjunto (posiblemente nulo, Ø):

D := \{z \in \mathbb{C} \mid R_1 < |z-c| < R_2 \}

Donde:

R_1 := \limsup_{k \rightarrow\infty} |a_{-k}|^{1/k} y R_2 := \frac{1}{\limsup_{k \rightarrow\infty} |a_{k}|^{1/k}}

Toda serie de Laurent tiene vinculada una función de la forma:

f(z) := \sum_{k=-\infty}^\infty a_k (z-c)^k,

cuyo dominio es el conjunto de puntos en \mathbb{C} sobre el cual es convergente. Esta función es analítica dentro de una corona D; inversamente, toda función en una corona es igual a una única serie de Laurent.

Propiedades

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe estar dentro de un disco donde f(z) es una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es estrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto entorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).

Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y están dados por:

a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz para n = 0,1,2,... y a_{-n}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}(z-c)^{n-1}f(z)dz para n = 1,2,...

(la sucesión de constantes están definidas por un camino de integración en la generalización de la integral de Cauchy).

Convergencia

Si suponemos :\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n ( z - c )^n es una serie de Laurent con coeficientes an y un centro complejo c. Entonces existe un radio interior r y un radio exterior R de tal forma que:

  • La serie de Laurent es convergente en la corona abierta A := {z : r < |z − c| < R}, tanto para potencias de grado positivo como para potencias de grado negativo y esta convergencia define una función holomorfa f(z) en la corona abierta.
  • Fuera de la corona, la serie de Laurent es divergente.
  • Para el disco existe al menos un punto en la frontera interior y otro en la frontera exterior para los cuales no puede ser holomorfa continua.

Singularidades

La serie de Laurent es muy importante en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de singularidades, pues permite saber qué tipos de singularidades tiene una función. Así, si expandimos una función en serie de Laurent, tomando como centro una singularidad y como radio interior cero, la cantidad de coeficientes negativos en la serie indicará que tipo de singularidad es:

  1. Si la serie no tiene términos negativos, la singularidad es evitable
  2. Si la serie tiene finitos términos negativos, la singularidad es un polo
  3. Si la serie tiene infinitos términos negativos, la singularidad es una singularidad esencial

Véase también


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