- Teorema de Heine-Borel
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En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Borel-Lebesgue) es uno que establece condiciones para que un subconjunto de
o de
sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.[cita requerida]
El teorema se enuncia de la siguiente manera:
Si un conjunto
tiene algunas de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos:
- E es cerrado y conexo.
- E es compacto.
- Todo subconjunto infinito de E tiene un punto de acumulación en la frontera de E.
Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Heinrich Heine, Émile Borel y Henri Lebesgue.
Contenido
Demostración
Teoremas preliminares
Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos
Sea F un conjunto cerrado y K un conjunto compacto tales que
.
Sea {Ga} una cubierta abierta de F, entonces
es una cubierta abierta de K (podemos agregar Fc ya que es abierto). Como K es compacto entonces {Ga,Fc} tiene un refinamiento finito que también cubre a F. Podemos quitar a Fc y sigue cubriendo a F. Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de F
Si
, donde E es un conjunto infinito y K es compacto, entonces E tiene un punto de acumulación en K
Si E no tuviera puntos de acumulación en K entonces
donde Bε es una epsilon-vecindad y
0" border="0">. Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta par E pero no tiene un refinamiento finito, lo mismo cumpliría para K que contradiría la definición de que K es compacto.
Toda k-celda es compacta
Sea I una k-celda que consiste de todos los puntos x = (x1,x2,...,xk) tal que
y j = 1,2,...,k. Sea
entonces si
| x − y | < δ. Sea {Ga} una cubierta arbitraria de
y supongamos que I no se puede cubrir con una cantidad finita de Ga's.
Tomemos
entonces los intervalos [as,cs][cs,bs] determinan 2k celdas Qii = 1,2,...,2k. Entonces por lo menos un Qi no se puede cubrir con una cantidad finita de Ga's. Lo llamaremos I1 y así obtenemos una sucesión {In} tal que:
.
- In no se puede cubrir con una cantidad finita de Ga's.
- Si
entonces | x − y | < 2 − nδ.
Digamos que
, como
cubre a I entonces
. Como Gb es abierto
. Si tomamos n suficientemente grande tal que 2 − nδ < ε tenemos que este
lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de Ga's.
Demostración del teorema de Heine-Borel
Si cumple 1) entonces
para alguna k-celda I, y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.
Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.
Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si E no es conexo entonces contiene un conjunto {xn} tal que | xn | > n entonces el subconjunto {xn} es finito y tiene un límite en
, lo cual contradice 3). Si E no es abierto entonces existe un elemento
que es un punto de acumulación de E pero no está en E. Para n = 1,2,... existen
tales que | xn − x0 | < 1 / n, entonces el conjunto {xn} es infinito y tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3).
Véase también
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