Teorema de Heine-Borel

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En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Borel-Lebesgue) es uno que establece condiciones para que un subconjunto de o de sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.^{[cita requerida]}

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Heinrich Heine, Émile Borel y Henri Lebesgue.

Demostración

Teoremas preliminares

Sea F un conjunto cerrado y K un conjunto compacto tales que .

Sea {G_a} una cubierta abierta de F, entonces es una cubierta abierta de K (podemos agregar F^c ya que es abierto). Como K es compacto entonces {G_a,F^c} tiene un refinamiento finito que también cubre a F. Podemos quitar a F^c y sigue cubriendo a F. Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de F

Si E no tuviera puntos de acumulación en K entonces donde B_ε es una epsilon-vecindad y . Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta par E pero no tiene un refinamiento finito, lo mismo cumpliría para K que contradiría la definición de que K es compacto.

Sea I una k-celda que consiste de todos los puntos x = (x₁,x₂,...,x_k) tal que y j = 1,2,...,k. Sea entonces si | x − y | < δ. Sea {G_a} una cubierta arbitraria de y supongamos que I no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's.

Tomemos entonces los intervalos [a_s,c_s][c_s,b_s] determinan 2^k celdas Q_ii = 1,2,...,2^k. Entonces por lo menos un Q_i no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's. Lo llamaremos I₁ y así obtenemos una sucesión {I_n} tal que:

1. .
2. I_n no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's.
3. Si entonces | x − y | < 2 ^{− n}δ.
4. 

Digamos que , como cubre a I entonces . Como G_b es abierto . Si tomamos n suficientemente grande tal que 2 ^{− n}δ < ε tenemos que este lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's.

Demostración del teorema de Heine-Borel

Si cumple 1) entonces para alguna k-celda I, y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si E no es conexo entonces contiene un conjunto {x_n} tal que | x_n | > n entonces el subconjunto {x_n} es finito y tiene un límite en , lo cual contradice 3). Si E no es abierto entonces existe un elemento que es un punto de acumulación de E pero no está en E. Para n = 1,2,... existen tales que | x_n − x₀ | < 1 / n, entonces el conjunto {x_n} es infinito y tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3).

Véase también

• Conjunto de Borel