Espacio vectorial normado

Espacio vectorial normado

Espacio vectorial normado

En matemática un espacio vectorial se dice que es normado si en él se puede definir una norma vectorial. Podemos señalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado:

Contenido

Definición

Un espacio vectorial V sobre un cuerpo \mathbb{K} en el que se define un valor absoluto (generalmente \mathbb{R} o \mathbb{C} ) se dice que es normado si en él se puede definir una norma, es decir, una aplicación ||.||:V\rightarrow \mathbb{R}, que verifica:

  1. No negatividad. Para todo \vec x de  \mathbf{V} su norma ha de ser positiva, y será cero si y sólo si \vec x es el vector cero: 0 < ||\vec x|| si \vec x \neq \vec 0 y  ||\vec x|| = 0 \Longleftrightarrow \vec x = \vec 0 .
  2. Homogeneidad. Para todo \vec x de  \mathbf{V} y para todo k de \mathbb{K} se satisface que ||k \vec x || = |k| · || \vec x || donde | | es el módulo o valor absoluto.
  3. Desigualdad triangular. Para todos \vec x e \vec y de \mathbf{V} se cumple que  || \vec {x} + \vec {y} || \leq || \vec {x} || + || \vec {y} || .

Generalmente se denotará a (V, | | ) al espacio vectorial normado y cuando la norma sea clara simplemente por V.

Ejemplos

De dimensión finita

De dimensión infinita

Distancia inducida

En todo espacio vectorial normado se puede definir la distancia d:V\rightarrow V:

d(x,y): = | | xy | |

con la cual (V,d) es un espacio métrico.

Espacios vectoriales normados de dimensión finita

Se cumplen los siguientes resultados (que generalmente no son ciertos para espacios de dimensión infinita):

  • Todas las normas definidas en el espacio son equivalentes, es decir, definen la misma topología. La convergencia o divergencia de una sucesión no depende de la norma escogida. El resultado no es cierto para espacios de dimensión infinita siendo siempre posible encontrar dos normas que no son equivalentes.
  • El espacio es completo, es decir, es un espacio de Banach. Como consecuencia, todo subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) es cerrado.
  • Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y sólo si la bola unidad es compacta.
  • Todo funcional lineal es continuo. Si el espacio tiene dimensión infinita, existen funcionales lineales no continuos.
  • Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunto del espacio vectorial es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Wikimedia foundation. 2010.

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