- Integral de línea
-
Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.
En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva es cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
- el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
- el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva,
- o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
Contenido
Definición
Integral curvilínea de un campo escalar
Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t
[a, b], está definida como:![\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\|\, dt = \int_a^b f(\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))\sqrt{[\mathbf{x}'(t)]^2+[\mathbf{y}'(t)]^2 }dt](7/ff743a2b0ea075b7e026652ab43675b5.png)
- donde r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).
Integral curvilínea de un campo vectorial
Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t
[a, b], está definida como:
- donde
es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
- donde
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización cuando el campo vectorial es conservativo. El signo de estas integrales depende del sentido de recorrido. Llamamos positivo al sentido antihorario.
Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que
donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par
dondees una 1-forma.
Independencia de la curva de integración
Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:
entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:
con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:
La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.
Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo.
Véase también
Enlaces externos
Wikimedia foundation. 2010.
