Teorema del valor medio

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

Contenido

1 Enunciado para una variable
- 1.1 Demostración
- 1.2 Forma integral del Teorema del valor medio
2 Enunciado para varias variables
3 Generalizaciones
4 Véase también
5 Referencias
6 Enlaces externos

Enunciado para una variable

Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [a, b].

En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

$\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f ' (c) \qquad$

Este teorema lo formuló Lagrange.

El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.

Demostración

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:

$y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

Donde los pares de puntos $(a,f(a))\;$ y $(b,f(b))\;$ son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:

$g(x)= f(x) - y = f(x) - [f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)]$

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

$g(a) = g(b) \qquad \Rightarrow \qquad f(a) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) = f(b) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)$

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

$0 = g ' (c) = f ' (c) - \frac{f(b)-f(a)}{b - a}$

y así

$f ' (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

como queríamos demostrar.

Forma integral del Teorema del valor medio

Para una función continua $f (x)$ en el intervalo $[a, b]$ , existe un valor $ξ$ en dicho intervalo, tal que^[1]

$\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b -a)$

Demostración Dado que la función $f$ es continua en $[a, b]$ , posee un valor máximo en dicho intervalo para algún $V\in[a,b]$ , que llamaremos $M = f (V)$ y también un valor mínimo en el mismo intervalo: $m = f (v)$ , para algún $v\in[a,b]$ . Es decir $f(V)\geq f(x),\forall x\in[a,b]$ y $f(v)\leq f(x),\forall x\in[a,b]$ . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base $b - a$ y altura $M$ ó $m$ tendremos la siguiente desigualdad:

$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$

Lo que implica:

$m\leq\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M$

De donde se deduce que debe existir algún $\xi\in[a,b]$ para el cual la función $f$ alcanza el valor de la integral $\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)$ , es decir:

$\exists \xi\in[a,b]:\quad f(\xi)=\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)dx$

El teorema no especifíca como determinar $ξ$ , pero resulta que $f (ξ)$ coincide con el valor medio (promedio) de la función $f$ en el intervalo $[a, b]$ .

Enunciado para varias variables

Sea $A\subset\mathbb{R}^n$ un conjunto abierto y convexo y $f:A \longrightarrow \mathbb{R}$ una función real diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:^[2]

$f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a}) = Df(\mathbf{c})(\mathbf{b}-\mathbf{a})$

Donde:

$Df(\mathbf{c})$ , es la aplicación lineal que representa el jacobiano (gradiente).

$\mathbf{c} = \mathbf{a} + \theta(\mathbf{b}-\mathbf{a})$

$0 \le \theta \le 1\;$

Generalizaciones

No existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones $\mathbf{f}:A \longrightarrow \mathbb{R}^n$ . En este caso, sólo es posible establecer la siguiente desigualdad en términos de la norma:

$\|\mathbf{f}(\mathbf{b})-\mathbf{f}(\mathbf{a}) \| \le \|\left(D\mathbf{f}(\mathbf{c})\right) (\mathbf{b}-\mathbf{a})\| \le \|D\mathbf{f}(\mathbf{c})\|\|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\|$

Demostración

En efecto

teniendo en cuenta que dada una función $\mathbf{f}:A \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$

[1]

$\ \| \int_0^1 f(t) \, dt \| \le \int_0^1 \| f(t) \| \, dt$

se tiene que si

$\ I[x,y]$ es el segmento formado por $\ x,y \in A$ (siendo A conexo y abierto), es $\ I[x,y] \subset A$

y entonces

$\ \|f(y)-f(x) \|= \| \int_0^1 df( x(1-t) + ty )(y-x) \, dt \| \le \int_0^1 \| df( x(1-t) + ty)(y-x) \| \, dt$

de donde se tiene que como

$\ \| df(x(1-t) + ty)(y-x)\| \le \|df(x(1-t) + ty) \| \| y-x \|$ $\ \forall t \in [0,1]$

$\ \|f(y)-f(x) \| \le \|df(c) \| \| y-x \|$ para algún $\ c \in I(x,y)$

Para ver [1] basta tener en cuenta que

$\ L = \int_0^1 f(t) \, dt$

$\ \| L \|^2 = \| \int_0^1 f(t) \, dt \|^2 = <L, \int_0^1 f(t) \, dt > = \int_0^1 <L,f(t)> \, dt \le \int_0^1 \| L \| \| f(t) \| dt = \| L \| \int_0^1 \| f(t) \| dt$

y se tiene que

$\ \| \int_0^1 f(t) \, dt \| \le \int_0^1 \| f(t) \| \, dt$

Véase también

Referencias

↑ Ver "Introducción al cálculo y al análisis matemático Vol. I". R. Courant & J. Fritz. Ed. Limusa. p. 163.
↑ Bombal, Marín, Vera, p. 4

Bombal, Marin & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Enlaces externos

PlanetMath: Mean-Value Theorem
Weisstein, Eric W. «Teorema del valore medio» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Categoría:

Teoremas de cálculo

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Mira otros diccionarios:

Teorema del valor medio de Cauchy — En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir del mismo puede demostrarse la regla de L Hôpital, fuerte ayuda… … Wikipedia Español
Teorema del valor medio — En cálculo, el teorema de valor medio también llamado teorema de los incrementos finitos dice que cualquier función definida y continua [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) entonces existe al menos algún punto c en el… … Enciclopedia Universal
Teorema del valor intermedio — Para el teorema de cálculo diferencial, véase Teorema del valor medio. Teorema de los valores intermedios. En análisis real el teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre… … Wikipedia Español
valor medio, teoremas del — En matemática, dos teoremas, uno asociado con el cálculo diferencial y el otro con el cálculo integral. El primero propone que cualquier función diferenciable definida en un intervalo cerrado, tiene a lo menos un valor en el intervalo en el cual… … Enciclopedia Universal
Teorema del coseno/apéndice — Artículo principal: Teorema del coseno El objetivo de este apéndice es presentar pruebas de algunas afirmaciones usadas en el artículo Teorema del coseno, pero que por razones didácticas es preferible separar del cuerpo principal, ya que… … Wikipedia Español
Teorema de la aproximación lineal — Saltar a navegación, búsqueda Se debe suponer que z=f (x, y) es una función que posee derivadas parciales continuas en un punto (a, b). Por lo tanto el incremento ∆z en el punto (a, b) está dado por: Demostración Por definición: Luego, se suma y… … Wikipedia Español
Teorema de Rolle — El teorema de Rolle dice lo siguiente: Si: es una función continua definida en un intervalo cerrado es derivable sobre el intervalo abierto Entonces: existe al menos un número … Wikipedia Español
Teorema de Taylor — La función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea verde discontinua). En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor,… … Wikipedia Español
Teorema de la velocidad media — La demostración de Galileo para el movimiento de los cuerpos en caída (s. XVII) fue idéntica la la demostración geométrica del teorema del valor medio, hecha por Nicolás Oresme en el siglo XIV. El Teorema de la velocidad media fue el teorema de… … Wikipedia Español
Teorema de Cauchy — Numerosos teoremas deben su nombre a Augustin Louis Cauchy: El teorema integral de Cauchy en análisis complejo, generalizado al teorema de Cauchy Goursat. Véase también la fórmula integral de Cauchy. El teorema del valor medio de Cauchy en… … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Teorema del valor medio

Contenido

Enunciado para una variable

Demostración

Forma integral del Teorema del valor medio

Enunciado para varias variables

Generalizaciones

Véase también

Referencias

Enlaces externos

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Wikipedia Español

Teorema del valor medio

Contenido

Enunciado para una variable

Demostración

Forma integral del Teorema del valor medio

Enunciado para varias variables

Generalizaciones

Véase también

Referencias

Enlaces externos

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Link directo