Teorema del valor medio de Cauchy

En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir del mismo puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones $\textstyle \frac{0}{0}$ ó $\textstyle \frac{\infty}{\infty}$ .

Enunciado

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Sean $f$ y $g$ continuas en $[a, b]$ y derivables en $(a, b)$ . Si $f'$ y $g'$ no se anulan simultáneamente, entonces existe $c \in (a,b)$ tal que
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \qquad$

Augustin Louis Cauchy

Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

Demostración

Sea G(x) una función definida como:

$G(x) = [g(b)-g(a)] \cdot [f(x)-f(a)] - [f(b)-f(a)] \cdot [g(x)-g(a)] \,\!$

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0.

Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) se obtiene:

$G'(x) = [g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)] \cdot g'(x)$

y sabiendo que G'(c) es 0

$0 = [g(b)-g(a)] \cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)$

de donde se deduce que

$[f(b)-f(a)]\cdot g'(c) = [g(b)-g(a)] \cdot f'(c)$

Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

Q.E.D.

Consecuencias

El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de $\textstyle \frac{0}{0}$ ó $\textstyle \frac{\infty}{\infty}$ .

Referencias

Trott, Michael. «Mean Value Theorem» (en inglés). The Wolfram Demonstrations Project. Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Teorema del valor medio» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Teorema del valor medio de Cauchy» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Categoría:

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