Aplicación lineal

Aplicación lineal

En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.

En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Contenido

Definición

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
  1. T(u+v) = T(u) + T(v) \,
  2. T(ku) = kT(u) \, donde k es un escalar.

Ejemplos

Transformación lineal identidad

T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x, \forall x \in V

Homotecias

T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx con k \in \mathbb{K}
Si k > 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias

Propiedades de las transformaciones lineales

Sean \mathbb{V} y \mathbb{W} espacios vectoriales sobre \mathbb{K} (donde \mathbb{K} representa el cuerpo) se satisface que:

Si T: V \rarr W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

\operatorname{ker}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

  1. 0_V \in \operatorname{ker}(T) dado que \operatorname {T}(0_V) = 0_W
  2. Dados u , v \in \operatorname{ker}(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in \operatorname{ker}(T)
  3. Dados u \in \operatorname{ker}(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in \operatorname{ker}(T)

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. \operatorname{null}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T))

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

  • La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
  • El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
\operatorname{ran}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))


una función lineal es la correspondencia

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

  • Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal T: V → W que satisface:


 T(v_i) = w_i,  \forall 1\le i\le n

Clasificación de las transformaciones lineales

  1. Monomorfismo: Si T: V \rarr W es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. \operatorname{ker}(T) = {0_V}
  2. Epimorfismo: Si T: V \rarr W es sobreyectiva (suryectiva).
  3. Isomorfismo: Si T: V \rarr W es biyectiva (inyectiva y suryectiva)

Matriz asociada a una transformación lineal

Según la teoría de Brevis-Devaud, una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.

Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.

T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp

Entonces:

coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)

Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))

Referencias

Véase también

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

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