- Álgebra mediana
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En matemática, un álgebra mediana es un conjunto con un operador ternario < x,y,z > que satisface los siguientes axiomas, los cuales generalizan la noción de mediana o función mayorante, como una función booleana:
- Absorción por la derecha:
- < u,v,v > = v
- Simetría por la derecha:
- < u,v,w > = < u,w,v >
- Simetría por la izquierda:
- < u,v,w > = < v,u,w >
- Transitividad:
- < u,v,< u,w,x > > = < u,< u,v,w >, x >
El segundo y tercer axioma implican conmutatividad. Es posible (pero no sencillo) demostrar que en presencia de los otros tres, el tercer axioma es redundante. El cuarto axioma implica asociatividad.[1]
Existen otros posibles sistemas axiomáticos, como por ejemplo los siguientes dos axiomas también son suficientes:
- < u,v,v > = v
- < u,v,< u,w,x > > = < u,x,< w,u,v > >
En un álgebra de Boole, o más general en un retículo distributivo, la función mediana
satisface estos axiomas. Por lo tanto, cada álgebra de Boole y cada retículo distributivo forman un álgebra mediana.[2]Birkhoff y Kiss demostraron que un álgebra mediana con elementos 0 y 1 que satisfacen < 0,x,1 > = x, es un retículo distributivo.[3]
Relación con grafos medianos
Un grafo mediano es un grafo no dirigido en que para cualesquiera tres vértices x, y, z existe un único vértice < x,y,z > que pertenece a los caminos más cortos entre todos los pares conformados por ellos. Cuando un grafo es mediano, la operación < x,y,z > define un álgebra mediana cuyos elementos son los vértices del grafo.
Al revés, en cualquier álgebra mediana, uno puede definir un intervalo [x, z] como el conjunto de elementos y tales que < x,y,z > = y. Se puede definir así un grafo desde un álgebra mediana creando un vértice por cada elemento del álgebra y una arista por cada par (x, z) tal que el intervalo [x, z] no contenga elementos adicionales. Si el álgebra posee la propiedad de que cada intervalo sea finito, entonces este grafo es un grafo mediano, que es exactamente representado por el álgebra, y en que la operación mediana definida por los caminos más cortos en el grafo coinciden con la operación mediana del álgebra original.[4]
Referencias
- ↑ Isbell, John R. (Agosto 1980). «Median Algebra» (en inglés). Trans. Amer. Math. Soc. 260 (2): pp. 319-362. doi:.
- ↑ Knuth, Donald E. (2008). «Introduction to combinatorial algorithms and Boolean functions» (en inglés). The Art of Computer Programming (Upper Saddle River, NJ: Addison-Wesley) 4.0: pp. 64-74. ISBN 0-321-53496-4.
- ↑ Birkhoff, Garret; Kiss (1947). «A ternary operation in distributive lattices» (en inglés). Bull. Amer. Math. Soc. 53: pp. 749-752. doi:.
- ↑ Bandelt, Hand-Jürgen; V. Chepoi (2008). «Metric graph theory and geometry: a survey» (en inglés). Contemporary Mathematics. http://www.lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/survey_cm_bis.pdf.
Enlaces externos
Categoría:- Teoría de retículos
- Absorción por la derecha:
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