Atlas (matemáticas)

Atlas (matemáticas)

Un atlas es un conjunto de cartas (entornos de coordenadas) que proveen de estructura localmente euclídea a un espacio topológico, una carta local que contiene a un punto P define un conjunto de coordenadas curvilíneas en el entorno de P.

Cada carta cubre un entorno del espacio dando coordenadas a los puntos dentro de dicho entorno. Un atlas es un conjunto de cartas que, además de cubrir el espacio por completo, en caso de superposición entre dos cartas, las coordenadas proveidas por una y otra están relacionadas simplemente por una función vectorial con "buenas propiedades" (es un homeomorfismo, o incluso un difeomorfismo).

Los atlas son la herramienta que permite dar estructura diferenciable a los espacios topológicos, siendo el sustrato para las nociones de la geometría diferencial de variedades.

Contenido

Definición

Dado un espacio topológico X, una carta (o también entorno coordenado) es un par (U,φ), donde U es un abierto de X, y \varphi:U\to\mathbb R^n un homeomorfismo entre U y el espacio euclídeo \mathbb R^n. Este homeomorfismo provee de coordenadas a los puntos del entorno U.

Un atlas es un conjunto de cartas que cubre la variedad al completo, y de tal manera que sean compatibles entre sí: si dos cartas dan coordendas distintas para una región de X, entonces la función "cambio de coordenadas" ha de ser biyectable y continua en ambos sentidos. O sea:

Un atlas es una familia de cartas {(Ui,φi)} con \ \cup_i U_i=X y tal que siempre que U_{ij}\equiv U_i\cap U_j\neq\empty la función de transición \varphi_{ij}\equiv\varphi_i\varphi_j^{-1}:\varphi_j(U_{ij})\to\varphi_i(U_{ij}) es un homeomorfismo entre abiertos de \mathbb R^n.

Diferenciabilidad

La definición anterior es estrictamente para un atlas de clase \mathcal C^0. Exigiendo que las funciones de transición ϕij sean difeomorfismos de clase \mathcal C^k, obtendríamos un atlas de clase \mathcal C^k (donde k es un entero positivo, \infty, o incluso ω para atlas analíticos).

Compatibilidad. Estructura diferenciable.

La condición de compatibilidad entre cartas nos permite definir si dos atlas de clase \mathcal C^k son a su vez compatibles: lo son si su unión conjuntista es un atlas a su vez, esto es, si pueden "juntarse" en un sólo atlas.

Dos atlas compatibles pero distintos dan coordenadas al espacio X de maneras esencialmente equivalentes. Para definir la estructura de variedad (ya sea topológica o diferenciable) sin ambigüedades, se recurre a una clase de equivalencia de atlas compatibles entre sí. Otra manera es usar un atlas maximal, que contiene a cualquier atlas compatible con él. A estos atlas maximales se les denomina también estructuras diferenciables (de clase \mathcal C^k).

Coordenadas curvilíneas

Dada una variedad de (pseudo)riemanniana \mathcal{M}, un conjunto abierto O del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto m\in O\subset\mathcal{M}, una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:

\phi:O\subset\mathcal{M} \to \R^d \qquad p\in O \and \phi(p) = (x^1,x^2,...,x^d)\in \R^d

Donde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las d curvas coordenadas Ci(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:

\phi(C_i(t))= (x_{(0)}^1,...,x^i(t),...,x^n_{(0)}) \qquad \mathbf{v}_i = C_i'(t) = \frac{\part}{\part x^i}

El cálculo diferencial en variedades permite generalizar el concepto de coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas a variedads diferenciables, es decir, espacios globalmente no euclídeos que sin embargo son localmente euclídeos. Los sistemas de coordenadas totalmente generales son difíciles y en general no tienen propiedades que los hagan interesantes. Una clase especial de estos son las coordenadas ortogonales. Un sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas xi son ortogonales, es decir, si:

g(\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j) = 0\ (i\ne j), \qquad g(\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i) = h_i^2(x^1,x^2,...,x^d)

Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.

Véase también

Bibliografía

  • Wald, Robert (1984) (en inglés). General Relativity. The University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2. 

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