Función q-gamma

En matemática, la función q-gamma, o función gamma básica, es una generalización de la función gamma ordinaria, y está muy estrechamente relacionada con la función gamma doble. Ésta fue introducida por Jackson (1905). Esta es definida como

$\Gamma_q(x) := (1-q)^{1-x}\prod_{n=0}^\infty \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{x+n}}.$

Expresiones

La función q-gamma es un q-análogo de la función gamma, y por tanto, se puede expresar en términos de símbolos q-Pochhammer:

$\Gamma_q(x) = \frac{(q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}\,(1-q)^{1-x}$

Además, satisface la siguiente ecuación funcional:

$\Gamma_q(z+1) = \frac{(1-q^z)}{(1-q)}\,\Gamma_q(z)$

y es quivalente a la función gamma ordinaria cuando $\scriptstyle q\to 1^-$ ya que

$\lim_{q\to 1^-} \Gamma_q(z) = \Gamma(z)$

Referencias

Jackson, F. H. (1905), «The Basic Gamma-Function and the Elliptic Functions», Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character (The Royal Society) 76 (508): 127–144, ISSN 0950-1207, http://www.jstor.org/stable/92601
Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 (2nd edición), Cambridge University Press, MR 2128719, ISBN 978-0-521-83357-8
Weisstein, Eric W. «q-Gamma Function» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

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