Fórmula de Brahmagupta

Fórmula de Brahmagupta

En geometría , la fórmula Brahmagupta encuentra el área de cualquier cuadrilátero dadas las longitudes de los lados y algunos de los ángulos. En su forma más común, se obtiene el área de los cuadriláteros que se pueda inscribir en un círculo .

Contenido

Forma Básica

En su base y más fácil de recordar la forma, la fórmula Brahmagupta da el área de un cuadrilátero cuyos lados tienen longitudes a, b, c, d como:

A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

donde s, es el semiperímetro, así:

s = \frac{a+b+c+d}{2}\cdot
s-a = \frac{-a+b+c+d}{2}
s-b = \frac{a-b+c+d}{2}
s-c = \frac{a+b-c+d}{2}
s-d = \frac{a+b+c-d}{2}

Esta fórmula generaliza la fórmula de Herón para el área de un triángulo . De hecho, la fórmula de Herón pueden derivarse de la fórmula de Brahmagupta al permitir acercarse a un valor de cero. Un triángulo puede ser considerado como un cuadrilátero con un lado de longitud cero. Desde esta perspectiva, como D tiende a cero, un cuadrilátero cíclico converge en un triángulo cíclico (todos los triángulos son cíclicos), y la fórmula de Brahmagupta converge en la fórmula de Herón.

Demostración de la fórmula de Brahmagupta

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Si el área del cuadrilátero es A, entonces:

\begin{align} A &= \text{area} \triangle ADB + \text{area} \triangle BDC \\ &= \frac{a b \sin \widehat A}{2} + \frac{c d \sin \widehat C}{2} \end{align}

Pero desde ABCD es un cuadrilátero cíclico, D\widehat AB = 180^\circ - D\widehat CB. Por consiguiente, \sin \widehat A = \sin \widehat C. Por lo tanto

A = \frac {ab \sin \widehat A}{2} + \frac {cd \sin \widehat A}{2}
A^2 = \frac {\sin^2 \widehat A}{4} \cdot (ab + cd)^2
4A^2 = (1 - \cos^2 \widehat A)(ab + cd)^2 \,
4A^2 = (ab + cd)^2 - \cos^2 \widehat A \cdot (ab + cd)^2. \,

Aplicando el teorema del coseno para \triangle ADB y \triangle BDC e igualando las expresiones para el lado DB, tenemos

a^2 + b^2 - 2ab \cos \widehat A = c^2 + d^2 - 2cd \cos \widehat C. \,

Sustituyendo \cos \widehat C = -\cos \widehat A (ya que los ángulos son complementarios), y reordenando se obtiene:

2\cos \widehat A \cdot (ab + cd) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2. \,

Sustituyendo esta expresión en la ecuación para el área,

4A^2 = (ab + cd)^2 - \frac {(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2}{4}
16A^2 = 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2, \,

que es de la forma a2 − b2 y por lo tanto se puede escribir en la forma (a + b)(a − b) como,

(2(ab + cd) + a^2 + b^2 - c^2 - d^2)(2(ab + cd) - a^2 - b^2 + c^2 + d^2) \,
= ( (a+b)^2 - (c-d)^2 )( (c+d)^2 - (a-b)^2 ) \,
= (a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a). \,

La semisuma de todos los lados es igual al semiperímetro: s = \frac{a+b+c+d}{2},

16A^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d). \,

Tomando la raíz cuadrada, obtenemos

A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.

Extensión a los cuadriláteros no cíclicos

En el caso de los cuadriláteros cíclicos no, la fórmula de Brahmagupta puede extenderse al considerar las medidas de dos opuestos ángulos del cuadrilátero

\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}

donde θ es la mitad de la suma de dos ángulos opuestos. (La pareja es irrelevante: si los otros dos ángulos se toman, la mitad de su suma es el suplemento de θ. Dado que cos(180° − θ) = −cosθ, tenemos cos2(180° − θ) = cos2θ.) Se desprende de ello que el área de un cuadrilátero cíclico es el área máxima posible para cualquier cuadrilátero con las longitudes laterales dado.

Esta fórmula general es más conocido a veces como la fórmula de Bretschneider, pero de acuerdo a MathWorld se debe aparentemente a Coolidge en esta forma, la expresión de Bretschneider es

\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}\,

donde p y q son las longitudes de las diagonales del cuadrilátero.

Es una característica de los cuadriláteros cíclicos (y en última instancia, de ángulos inscriptos) que los ángulos opuestos de un cuadrilátero suman 180°. En consecuencia, en el caso de un cuadrilátero inscrito, θ = 90 °, donde el término

abcd\cos^2\theta=abcd\cos^2 \left(90^\circ\right)=abcd\cdot0=0, \,

dando la forma básica de la fórmula de Brahmagupta.

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