Grupo resoluble

Grupo resoluble

Definición

Un grupo G se dice resoluble si existe una cadena finita de subgrupos \{G_i\}_{i=1}^{n}\subset G tal que:

 \{1_G\}=G_0\subseteq G_1 \subseteq \dots \subseteq G_n = G,

donde para cada i=0,1,\dots,n-1 se cumple que:

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre abeliana


Ejemplos

  • Todo grupo abeliano es resoluble, ya que \{1\}\subseteq G y 1\triangleleft G, dado que x\cdot 1_G\cdot x^{-1} \in\{1_G\} y además G/\{1\}\simeq G, por lo que es abeliano.
  • S3 es resoluble. Basta ver que 1 \triangleleft A_3\triangleleft S_3 es una torre abeliana, con An el grupo alternado para Sn.
  • A4 es resoluble. Basta ver que 1\triangleleft V\triangleleft A_4, es una torre abeliana de A4, donde V = {1,(12)(24),(13)(24),(14)(23)}.
  • S4 es resoluble. Se puede ver que 1\triangleleft V\triangleleft A_4\triangleleft S_4 es una torre abeliana de S4.
  • A5 es un grupo no resoluble, ya que se conoce que A5 es simple, por lo que la única cadena posible es 1\triangleleft A_5, pero A5 no es abeliano, dado que (12)(34)(345)\neq (345)(12)(34).

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