Partición (matemática)

Partición (matemática)

Partición (matemática)

Partición del círculo en 6 partes {A1, ... , A6}

En matemática, diremos que la familia de subconjuntos {Ai: i ∈ I} de un conjunto A es una partición (sobre A) si se cumple que:

  1. A_i \neq \emptyset para todo i \in I.
  2. \bigcup_{i\in I} A_i = A.
  3. A_i \cap A_j \neq \emptyset \Rightarrow A_i=A_j.

Por lo tanto, se trata de un recubrimiento en el que los subconjuntos pertenecientes a la familia, dos a dos, son disjuntos (es decir, su intersección es vacía).

Ejemplos

  • Todo conjunto de un elemento {x} tiene exactamente una partición: { {x} }.
  • Para cualquier conjunto no vacío X, P = {X} es una partición de X.
  • El conjunto { 1, 2, 3 } tiene estas 5 particiones:
    • { {1}, {2}, {3} }, a veces notada por 1/2/3.
    • { {1, 2}, {3} }, a veces notada por 12/3.
    • { {1, 3}, {2} }, a veces notada por 13/2.
    • { {1}, {2, 3} }, a veces notada por 1/23.
    • { {1, 2, 3} }, a veces notada por 123.
  • Obsérvese que
    • { {}, {1,3}, {2} } no es una partición (pues contiene al conjunto vacío).

El número de particiones de un conjunto finito

El número de Bell Bn, nombrado así en honor a Eric Temple Bell, es el número de particiones diferentes de un conjunto con n elementos. Los primeros números de Bell son: B0 = 1, B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52, B6 = 203 ((sucesión A000110 en OEIS))

Los números de Bell satisfacen la siguiente relación recursiva: B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}B_k.

Véase también

Obtenido de "Partici%C3%B3n (matem%C3%A1tica)"

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