Carácter de Dirichlet

Carácter de Dirichlet

Carácter de Dirichlet

En teoría de números, los caracteres de Dirichlet son un cierto tipo de funciones aritméticas que derivan de caracteres completamente multiplicativos sobre las unidades \mathbb Z / k \mathbb Z . Los caracteres de Dirichlet son usados para definir las Funciones L de Dirichlet, las cuales son funciones meromorfas, con una variedad interesante de propiedades analíticas. Si χ es un caracter de Dirichlet, se define su serie L de Dirichlet de la siguiente manera:

L(\chi,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}

donde s es un número complejo con la parte real > 1. Por continuación analítica, esta función puede ser extendida a una función meromorfa en todo el plano complejo. Las funciones L de Dirichlet son generalizaciones de la función zeta de Riemann y aparecen en la hipótesis generalizada de Riemann.

Los caracteres de Dirichlet son llamados así en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Definición axiomática

Un carácter de Dirichlet es cualquier función χ de números enteros a números complejos con las siguientes propiedades:

  1. Existe un entero positivo k tal que χ(n) = χ(n + k) para todo n.
  2. Si mcd (n,k) > 1 entonces χ(n) = 0; si mcd(n,k) = 1 entonces χ(n) ≠ 0.
  3. χ(mn) = χ(m)χ(n) para todo los enteros m y n.


Véase también

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