Cardinal de una unión de conjuntos

$A_1 , A_2 , A_3 , \ldots , A_n$

y conociendo el cardinal de cada conjunto:

$\mbox{card}(A_1) , \mbox{card}(A_2) , \mbox{card}(A_3) , \ldots , \mbox{card}(A_n)$ ,

así como el cardinal de cada intersección de dos, tres, ..., n conjuntos:

$\mbox{card}(A_1 \cap A_2) , \mbox{card}(A_1 \cap A_3) , \mbox{card}(A_1 \cap A_n) , \ldots , \mbox{card}(A_{n-1} \cap A_n)$

$\mbox{card}(A_1 \cap A_2 \cap A_3) , \mbox{card}(A_1 \cap A_2 \cap A_4) , \mbox{card}(A_1 \cap A_2 \cap A_n) , \ldots , \mbox{card}( A_{n-2} \cap A_{n-1} \cap A_{n})$

$\ldots \,$

$\mbox{card}(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \ldots \cap A_{n})$

se quiere calcular Cardinal de una unión de conjuntos:

$\mbox{card}(A_1 \cup A_1 \cup A_1 \cup \ldots \cup A_n )$

En ciertos lugares del planeta, esta fórmula se conoce bajo el nombre de fórmula de la criba. La vamos a ver generalizando a partir de la unión de dos, de tres y de n conjuntos.

Unión de dos conjuntos

Sean A y B dos conjuntos, de intersección $A \cap B$ (en verde en la figura). Para contar todos los elementos de la unión $A \cup B$ , primero contamos los de A (en amarillo y verde en la figura), luego los de B (en azul y verde) y sumamos los dos números. Pero ¡los elementos de la intersección han sido contados dos veces!

Entonces tenemos que restar a la suma el cardinal de la intersección:

$\mbox{card}( A \cap B)$

La fórmula es por lo tanto:

$\mbox{card}(A \cup B) = \mbox{card}(A) + \mbox{card}(B) - \mbox{card}(A \cap B)$

Se puede remplazar el cardinal por otra medida de conjuntos, por ejemplo por una probabilidad, si A y B son eventos probabilísticos:

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$

donde:

$p(A \cup B) \,$ : es la probabilidad de que se dé A ó B.

$p(A) \,$ : es la probabilidad de que se dé A.

$p(B) \,$ : es la probabilidad de que se dé B.

$p(A \cap B) \,$ : es la probabilidad de que se dé A y B simultáneamente.

Unión de tres conjuntos

Cardinal de union de tres conjuntos(png).svg

Consideremos ahora tercer conjuntos A, B y C, que interseca entre si. Para calcular la cardinal de una unión de estos tres conjuntos, tenemos:

$\mbox{card}(A \cup B \cup C) = \mbox{card}((A \cup B )\cup C)$

por la propiedad asociativa de la unión, y resulta que:

$\mbox{card}(A \cup B \cup C) = \mbox{card}(A \cup B ) + \mbox{card}(C) - \mbox{card}((A \cup B )\cap C)$

que es lo mismo que:

$\mbox{card}(A \cup B \cup C) = \mbox{card}(A \cup B ) + \mbox{card}(C) - \mbox{card}((A \cap C) \cup (B \cap C ))$

Calculando por separado tenemos:

$\mbox{card}(A \cup B ) = \mbox{card}(A) + \mbox{card}(B) - \mbox{card}(A \cap B)$

como en el caso de la unión de dos conjuntos, y por otro lado:

$\mbox{card}((A \cap C) \cup (B \cap C )) = \mbox{card}(A \cap C) + \mbox{card}(B \cap C) - \mbox{card}((A \cap C) \cap (B \cap C))$

que es lo mismo que:

$\mbox{card}((A \cap C) \cup (B \cap C )) = \mbox{card}(A \cap C) + \mbox{card}(B \cap C) - \mbox{card}(A \cap B \cap C)$

con estos resultados parciales, ya tenemos el resultado final:

$\mbox{card}(A \cup B \cup C) = \mbox{card}(A) + \mbox{card}(B) - \mbox{card}(A \cap B) + \mbox{card}(C) -[ \mbox{card}(A \cap C) + \mbox{card}(B \cap C) - \mbox{card}(A \cap B \cap C)]$

Esto es:

$\mbox{card}(A \cup B \cup C) = \mbox{card}(A) + \mbox{card}(B) + \mbox{card}(C) - \mbox{card}(A \cap B) - \mbox{card}(A \cap C) - \mbox{card}(B \cap C) + \mbox{card}(A \cap B \cap C)$

Unión de n conjuntos

Fórmula general, con los conjuntos A₁, A₂, A₃... A_n:

$\begin{matrix}{ } \\ \# \cup A_i \\ { }_{i \in [1;n]} \end{matrix} = \sum \# A_i - \sum_{i \ne j} \#(A_i \cap A_j) + \sum_{i \ne j \ne k \ne i} \#(A_i \cap A_j \cap A_k) - ...$

Una escritura más rigurosa pero menos legible es:

$\begin{matrix} { } \\ \# \cup A_i \\ { }_{i \in [1;n]} \end{matrix} = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \begin{matrix} { } \\ { } \\ \# \cap A_i \\ { }_{i \in I \subseteq [1;n]} \\ { }_{\# I = k} \end{matrix}$

Prueba

Se puede demostrar esta fórmula por inducción sobre el número de conjuntos involucrados. Para dos y tres es cierta por construcción; también lo es para uno y cero conjunto si se mira atentamente (recordando que la suma de ningún elemento es el neutro de la adición, en este caso el conjunto vacío).
Supongamos la fórmula cierta para n conjuntos, (A₁, A₂, A₃... A_n) y añadamos uno más en la unión: A_n+1.

Sea A la unión de los conjuntos A₁, A₂... A_n, y B el conjunto A_n+1 y apliquemos la fórmula para # (A U B):

$\#(A \cup B) = \# A + \# B - \# (A \cap B) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \begin{matrix} { } \\ { } \\ \# \cap A_i \\ { }_{i \in I \subseteq [1;n]} \\ { }_{\# I = k} \end{matrix} + \# A_{n+1} - \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \begin{matrix} { } \\ { } \\ \# \cap A_i \\ { }_{i \in I \subseteq [1;n]} \\ { }_{\# I = k} \end{matrix} \cap A_{n+1}$

El #A_n+1 se podrá incluir en la primera suma pues corresponde al caso k = 1 y I = {n+1}.

La última suma se reescribe:

$- \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \begin{matrix} { } \\ { } \\ \# \cap A_i \cap A_{n+1} \\ { }_{i \in I \subseteq [1;n]} \\ { }_{\# I = k} \end{matrix} = + \sum_{k=1}^n (-1)^{k+2} \begin{matrix} { } \\ { } \\ \# \cap A_i \\ { }_{i \in I' \subseteq [1;n+1]} \\ { }_{\# I = k+1} \end{matrix}$

con I' = I U {n+1} en la suma. Luego cambiamos de variable: k' = k + 1 y la suma anterior se escribe:

$\sum_{k'=2}^{n+1} (-1)^{k'+1} \begin{matrix} { } \\ { } \\ \# \cap A_i \\ { }_{i \in I' \subseteq [1;n+1]} \\ { }_{\# I = k'} \end{matrix}$

Reuniendo todo lo anterior, cambiando k' por k:

$\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1} \begin{matrix} { } \\ { } \\ \# \cap A_i \\ { }_{i \in I \subseteq [1;n+1]} \\ { }_{\# I = k} \end{matrix}$

Esto corresponde a la fórmula para n+1, lo que acaba la inducción.

Obtenido de "Cardinal de una uni%C3%B3n de conjuntos"

Categoría: Teoría de conjuntos

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