Conjuntos numéricos

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Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Sus características estructurales más importantes son:

1. No son conjuntos finitos
2. Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable
3. Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)
4. Admiten relación de orden
5. Admiten relación de equivalencia
6. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).
7. Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.
8. El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:

   N :Conjunto de los números naturales 
   Z :Conjunto de los números enteros
   Q :Conjunto de los números racionales
   R :Conjunto de los números reales
   A :Conjunto de los números complejos algebráicos
   C :Conjunto de los números complejos

9. Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto C de los números complejos.
10. El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del Diagrama del Dominó o de Llaves.

Por todo ello, es necesario comprender la distincíón entre conjunto numérico y conjunto de números, que es una mera agrupación de números sea o no estructurada.

$\begin{array}{ll} \mathbb{C} & \mbox{Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \begin{cases} & \mbox{Primos} \\ & \mbox{Compuestos} \end{cases} \\ & \mbox{Cero} \\ & \mbox{Enteros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases} \end{array}$

El número

El concepto de número en la sociedad actual nos es tan familiar que es difícil concebir hoy en día que el proceso de abstracción y construcción del sistema numérico y su aritmética ha sido largo y lento.

El proceso más interesante es el aprendizaje del conteo. En la época de los romanos, los cabreros utilizaban piedrecillas para contar sus rebaños.

Esta acción puede abstraerse a términos matemáticos estableciendo una aplicación biunívoca entre el objeto "piedra" y el objeto a contar, en este caso "una cabra", si se establece que existen tantas piedras como cabras, entonces, nuestro conteo es correcto, eso se denomina establecimiento de una biyección entre dos conjuntos equipotentes.

En pleno siglo XIX, muchas doncellas de la aristocracia inglesa no sabían contar, pero enseguida se daban cuenta si faltaban cubiertos o algún comensal no tenía asiento.

Muchas sociedades menores en sus respectivos idiomas tienen palabras para designar al número "uno", "dos" e incluso "tres", pero más allá, se dice "muchos", es decir, no hay un sistema numérico formalizado.

No obstante, ha servido de base, el uso de los dedos de las manos, de los pies, e incluso de las partes del cuerpo, para contar.

En algunos pueblos, el número cinco recibe el nombre de "mano" y el número veinte, el nombre de "hombre completo" (diez dedos de las manos y diez dedos de los pies).

El concepto de número aún ha sido durante mucho tiempo dependiente de una característica de una colección de objetos (conjunto) y no un ente abstracto.

A base de repetir procesos de conteo y establecimientos de biyecciones, de generación en generación se fue descubriendo la idea de "número" y las relaciones abstractas existentes entre ellos.

Un descubrimiento realmente revelador y tardío, fue el número "cero", un número que no significa cantidad alguna, es una abstracción en sí misma. El número cero fue una contribución de la civilización hindú, a lo que antes, eran huecos que se iban dejando en los cálculos.

El sistema numérico

Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. Nuestro sistema numérico es el arábigo o decimal porque emplea 10 símbolos para representar todos los números: Del 0 al 9. A continuación se presentan los conjuntos numéricos, cuyo conocimiento es indispensable para un dominio básico de la Álgebra y el Cálculo.

Conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales

Véase también para mayor información y como extensión de este apartado, el siguiente artículo: Conjunto $\ \scriptstyle \mathbb{N}$ de los números naturales

Surgieron en el proceso de aprendizaje que tuvo el hombre cuando descubrió la forma de contar. Son los números más simples de los que hacemos uso, están formados por los números 1,2,3,4,5...

El conjunto de los números naturales, se define por extensión de esta forma:

$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... \dots\}$

Su construcción axiomática parte de los axiomas de Peano, que a partir de un primer elemento, el uno, se genera el elemento siguiente, y el siguiente del siguiente, de tal forma que obtenemos un conjunto, que si bien está acotado inferiormente (es la única excepción existente entre los conjuntos numéricos), no lo está superiormente, por lo que podemos conjeturar que este conjunto tiene un número infinito de elementos, se admite que el cardinal del conjunto $\scriptstyle \mathbb{N}$ es un tipo específico de infinito, denominado Alef-0, que es "ligeramente menos infinito que otros cardinales alef".

El cardinal del conjunto de los números naturales es infinito, concretamente se define ese infinito como $\aleph_0$ Álef cero (o alef sub cero) -álef es la primera letra del alfabeto hebreo- o cardinal natural:

$\text{card} (\mathbb{N})= \aleph_0$

La axiomática natural o de Peano, ayuda a establecer en $\scriptstyle \mathbb{N}$ como un conjunto referencial para la numerabilidad de ordinales en otros conjuntos, sean o no numéricos, de tal forma, que llegándose a la equipotencia, pueden establecerse isomorfías entre estructuras algebraicas.

Por otro lado, esta axiomática ayuda a la demostración matemática con los teoremas de inducción.

El caso de la consideración del número cero como un número natural

Muchos autores modernos han considerado integrar el número cero 0 dentro del conjunto de los naturales, considerando al 0 como primer elemento en la acotación inferior del conjunto para sustituir al 1 en los axiomas de Peano.

No obstante, es más natural considerar que el número cero, desde el punto de vista histórico, siempre ha sido una abstracción pues nadie dice cosas como "Tengo cero perro, en todo caso, Tengo un perro, dos perros, etc." generalmente nadie cuenta las plantas de un edificio partiendo desde el número cero o la planta baja. Esa polémica se estableció cuando al finalizar el segundo milenio, al llegar el año 2.000, se celebrase la entrada del siglo XXI, cuando en realidad, el siglo XX terminó el 31 de diciembre de 2.000, para dar paso al siglo XXI el 1 de enero de 2.001. Es lógico, contamos desde el 1 en adelante.

En el diccionario de la Real Academia Española, se mantiene que los números naturales son 0, 1, 2, ...

Desde un punto de vista más formal, el conjunto de dichos números, se nota como un conjunto de números naturales ampliado, incluyendo el elemento cero como tal {0}, de hecho, el número cero, por sus especiales características es considerado a su vez como conjunto unitario {0} y en lo que sigue, así se va a considerar.

Es por lo que, esta ampliación de $\mathbb{N}$ , se notará como $\mathbb{N} \cup {{0}}$ .

$\mathbb{N}\cup {{0}} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... \dots\}$

Por otro lado, los partidarios de un conjunto natural ampliado con el cero, para dar notación al conjunto de los números naturales sin el cero utilizan $\mathbb{N}^*$ .

$\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... \dots\}$

También es compatible la siguiente notación:

$\mathbb{N}_0 = \mathbb{N}^0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \}$

$\mathbb{N}^* = \mathbb{N}_1 = \mathbb{N}_0 \setminus \{0\}= \{ 1, 2, \ldots \}.$

Todo ello no supone inconveniente alguno en la construcción axiomática de conjuntos numéricos, no obstante, es realmente conveniente en una disciplina como la matemática, normalizar la notación y la conceptuación, y éste es uno de esos casos donde ambas visiones son igualmente válidas.

En este artículo, el número cero no será considerado -por convención- un número natural. El número cero está incluido en un conjunto numérico unitario excepcional, el conjunto nulidad o conjunto cero cuya notación es $\mathbb\{0\}$ .

Propiedades estructurales del conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales

1. $\mathbb{N}$ no es un conjunto finitos y su cardinal es $\aleph_0$
2.a Dotado del operador adición, la estructuras algebraicas de [ $\mathbb{N}^*$ , + ] es un semigrupo abeliano o conmutativo
2.b Dotados del operador adición, la estructuras algebraicas de [ $\mathbb{N}$ , + ] es un monoide o semigrupo conmutativo con elemento neutro.
2.c Dotado del operador producto, la estructuras algebraicas de [ $\mathbb{N}^*$ , º ] o de [ $\mathbb{N}$ , º ] son monoides
2.d En [ $\mathbb{N}$ , + , º ] se cumple la propiedad distributiva entre ambos operadores, resultando una estructura algebraica de semianillo conmutativo con elemento unidad
3. Carecen de una estructura topológica estable
4. Admiten relación de orden, es un conjunto ordenado. En $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}^*$ se satisfacen las propiedades de monotonía y cancelación respecto a los semigrupos expuestos. El orden es de carácter lineal y estricto (es una cadena), por ello, es representable como una semirrecta (está acotado inferiormente) usando el diagrama de Hasse.
5. Admiten relación de equivalencia, dentro del conjunto $\mathbb{N}$ se pueden realizar particiones, por ejemplo, entre números primos y números compuestos, números pares e impares, etc.
6. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).En este caso, la recta está metrizada tomando un segmento como segmento-unidad y desplazando de izquierda a derecha los segmentos, cada punto donde concluye y comienza un segmento se identifica con un número natural, puede partir desde el 1 o desde el 0, pero es más conveniente, que sea desde el 0, para utilizar la convención cartesiana.
7. $\mathbb{N}$ es subconjunto de $\mathbb{Z}$ de los números enteros.

El conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros

Naturaleza de los números enteros positivos

Los números enteros pueden definirse de la siguiente forma: Sean dos números cualesquiera cuyo resultado en la división sea entera (no arroje ningún resto, o el resto sea cero) el resultado obtenido es un número entero.

Otra definición de número entero es el número periódico de la forma z'000000....

Desde el punto de vista de integridad, se abstrae hacia el número entero aquellos objetos de la naturaleza que siendo contables, pierden su naturaleza intrínseca si se realiza en ellos una partición.

Por eso, cuando uno desea comprar huevos, lo hace en número, es decir, por unidades, decenas, docenas y cartones -uso localista de Andalucía (España)- (un cartón son dos docenas y media, o sea, 30 huevos). Ya que son contables.

Si los huevos se vendiesen al peso, alguien podría solicitar 550 g. y resultar que le corresponderían 9 huevos y medio, para lo cual, el tendero tendría que hervir un huevo, partirlo por la mitad y vendérselo al cliente. Estrictamente ha cumplido su compromiso, pero desde el punto de vista íntegro, es un sinsentido, ya que el cliente nunca ha solicitado medio huevo cocido, pero se ha tenido que realizar un transformación que le ha hecho perder su naturaleza intrínseca para poder realizar una partición.

De ahí, que cuando se dice, que en España, la media de nacimientos por parejas es de 1,6 hijos. Estamos hablando de un promedio, lógicamente, habrán matrimonios sin hijos, de 1 hijo/a, de 2 hijos, etc.. pero nunca de 1,6 hijos.

Isomorfismo de inmersión entre el cono positivo de $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{N}$

Contemplando la naturaleza de los números enteros positivos y de los números naturales, se observa que estamos hablando de una misma clase de números. Formalmente, el conjunto de los números enteros positivos, también denominado cono positivo del conjunto de los números enteros y cuya notación es $\mathbb{Z}+$ es un conjunto equipotente al conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales ya que puede establecerse una biyección entre todos y cada unos de sus elementos, además, al estar dotados de estructura algebraica, ambos conjuntos comparten los mismos tipos de estructura, se establecen isomorfismos entre los mismos, de tal suerte, que al ser considerado $\mathbb{Z}+$ como un subconjunto de $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{N}$ queda inmerso en $\mathbb{Z}$ , es decir que $\mathbb{N}$ es a su vez, un subconjunto de $\mathbb{Z}$ .

El caso de la consideración del número cero como un número entero

Se considera al conjunto cero $\mathbb\{0\}$ como un número entero, ya que algo que no puede dividirse, permanece indemne, esta abstracción es especialmente útil al introducir operadores internos, derivando estructuras algebraicas en $\mathbb{Z}$ .

Establecido el cero, como un conjunto numérico especial (por ser unitario), su notación como subconjunto de $\mathbb{Z}$ es $\mathbb{Z}_{0}$ siendo definido como cono nulo o cono cero del conjunto de los números enteros.

Se puede entender como una ampliación al conjunto unión resultado de los conos positivos y del cono cero del conjunto de los números naturales.

Números Enteros Negativos

Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de expresar situaciones tales como: Temperaturas bajo cero, deudas, posiciones bajo el nivel del mar (10 pies bajo el nivel del mar, por ejemplo). Se denotan por _- y están formados por los números inversos aditivos de los naturales.

_- = { ……, - 4, - 3, - 2, - 1}

Números Enteros

Surgen como la necesidad que vio el hombre de reunir en un solo conjunto a los enteros positivos (naturales) con los enteros negativos y con el elemento cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, . (los naturales son un subconjunto de los enteros).

Obsérvese que los números enteros positivos entre más lejos estén del cero más mayores son en tanto que los enteros negativos entre más cercanos estén del cero más menores son. Entre los números enteros están los números pares, los impares y los primos.

- Números pares: son de la forma 2K, K  Z
- Números impares: son de la forma 2K ± 1, K  Z
- Números primos: son aquellos números naturales que tiene dos únicos divisores: el mismo número y la unidad. El número 1 no es primo. Los números que no son primos se denominan números compuestos.

Números Racionales

Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de tomar algunas partes de la unidad. Se denotan por y son todos aquellos fraccionarios que se pueden expresar de la forma donde p y q son enteros y , como por ejemplo: 3/5, - 2/3. etc. En general:

Los números enteros son también racionales porque se les puede colocar como denominador la unidad (1). También se consideran números racionales los siguientes decimales:

a. Los decimales finitos: aquellos que tienen un número finito de cifras decimales, como por ejemplo: 0.23, 2.3, - 0.324

b. Los decimales infinitos periódicos puros (d.i.p.p.): Aquellos que tienen un número infinito de cifras decimales y cuyas cifras decimales se repiten, como por ejemplo: 0.2222… ,0.3535353… ,2.3333…, - 1,7777…

c. Los decimales infinitos periódicos mixtos (d.i.p.m.): Aquellos que tienen un número finito de cifras decimales que no se repiten y a continuación un número infinito de cifras decimales que se repiten, como por ejemplo: 0.23333…, 0.2355555…., - 0.32424242…, 3.25555…., - 1.2345454…

Todos estos decimales son racionales porque cada uno de ellos se origina al dividir dos números enteros. La fracción que los origina se denomina fracción generatriz.

El conjunto de los números racionales incluye a los enteros. Por lo tanto se tiene que:

Números Irracionales

Surgen por la necesidad de encontrar la medida exacta de la hipotenusa de un triángulo rectángulo; así mismo de la necesidad de expresar las raíces inexactas reales. Se denotan por ’ y son todas las raíces inexactas reales y los decimales infinitos no periódicos, como por ejemplo: 0.32456891…, π = 3.14157… , = 1.414213562…

Números reales

Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R. Por lo tanto se tiene que: R = U ’.

Números Imaginarios

Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = .

Debes tener en cuenta que: i =

I^2 = -1 , I^3 = - i , i^4 = 1.

La unión de los números reales con los imaginarios dan origen a los números complejos notados C, así que: C = R U I.

Observa bien que: N  Z  Q  R  C.

Propiedades de los números reales

Para todo número real a, b y c:

Propiedad Conmutativa: a + b = b + a (de la suma).

a • b = b • a (de la multiplicación)

Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5

2 x 4 = 4 x 2

Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c (de la suma)

a • (b • c) = (a • b) • c (de la multiplicación)

Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4

5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7

Propiedad modulativa o neutra de la suma: a + 0 = a

Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4

Propiedad modulativa o neutra de la multiplicación: a • 1 = a

Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3

Propiedad del Inverso Aditivo (simétrica) : a + (-a) = 0

Ejemplo: 6 + (-6) = 0

Propiedad del Inverso Multiplicativo (simétrica) :a . (1/a)= 1

Ejemplos: 5. 1/5 = 1; 123. 1/123 = 1

Propiedad Distributiva: a • (b + c) = a • b + a • c (del producto con respecto a la suma y/o Resta).

Ejemplo: 5 • (3 + 4) = 5 • 3 + 5 • 4

Propiedad de completez

Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto en la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un número en la recta.

Potenciación entera

POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Y BASE UN NÚMERO REAL. La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por si mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

Por ejemplo: . Sea a un número real a y n un número natural distinto del cero, se define potencia de base a y exponente n a: a n = a • a • • • • • a

Propiedades de la potenciación

1. a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias de igual base: am.an = am + n

Ej: 93.92 = 93 + 2 = 95

4. División de potencias de igual base:

Ej: 35/32 = 35 - 2 ; 23/26 = 2 3 – 6 = 2-3 = 1/23 ; 52/5 -4 = 5 2 – (-4) = 52+4 = 26

5. Potencia de una potencia:

Ej: (32)4 = 32x4 = 38 ; (73)-2 = 7-6

6. Potencia de un producto (propiedad distributiva):

Ej: (2x3)4 = 24x34 ; (32x53)5 = (32)5x(53)5 = 310x515

7. Potencia de un cociente:

Ej: (3/2)4 = 34/24

8. Potencia negativa de un cociente:
Ej: (3/7)- 2 = (7/3)2 = 72/32

Enlaces externos

Bibliografía

Aleksandrov,A.D., Kolmogorov,A.N., Laurentiev,M.A. et al (1973-1994) (en español -es traducción desde el inglés de "Mathematics: Its content, methods and meaning" The Massachussets Institute of Technology (U.S.A.)-). La Matemática: su contenido, métodos y significado Tomo I (3 volúmenes). Alianza Editorial. ISBN 84-206-2068-8 (Tomo I), ISBN 84-206-2993-6 (Obra completa).

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El número

El sistema numérico

Conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales

El caso de la consideración del número cero como un número natural

Propiedades estructurales del conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales

El conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros

Naturaleza de los números enteros positivos

Isomorfismo de inmersión entre el cono positivo de $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{N}$

El caso de la consideración del número cero como un número entero

Números Enteros Negativos

Números Enteros

Números Racionales

Números Irracionales

Números reales

Números Imaginarios

Propiedades de los números reales

Propiedad de completez

Potenciación entera

Propiedades de la potenciación

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