Conjugado (matemática)

Conjugado (matemática)
Representación geométrica de z y su conjugado \bar{z} en el plano complejo.

En matemáticas, el conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de su componente imaginaria. Por lo tanto, el conjugado de un número complejo

z=a+ib \,

(donde a y b son números reales) es

\overline{z} = a - ib.\,

El conjugado es a menudo indicado como z * . Aquí, se utiliza la notación \bar z para evitar confusiones con la notación utilizada para indicar la transpuesta conjugada de una matriz (que puede pensarse como una generalización del conjugado de un número). Notar que si el número complejo es tratado como una matriz 2\times 2, las notaciones son idénticas.

Por ejemplo,

\overline{(3-2i)} = 3 + 2i
\overline{7}=7
\overline{i} = -i.

Los números complejos pueden ser representados como puntos en un plano con un sistema de coordenadas cartesianas. El eje x contiene los números reales y el eje y contiene los múltiplos de i (la unidad imaginaria). Por lo tanto, en esta representación el conjugado de un número corresponde a su reflexión sobre el eje x.

Sin embargo, en forma polar, el conjugado de reiφ queda determinado por re − iϕ. Lo cual se puede verificar fácilmente aplicando la fórmula de Euler.

Los pares formados por un número y su conjugado son importantes ya que la unidad imaginaria i es indistinta de su inversa aditiva y multiplicativa − i, ya que ambas satisfacen la definición de la unidad imaginaria: x2 = − 1. Lo más común es que, si un número complejo es solución de un problema, también su conjugado lo es, esto se verifica por ejemplo en las soluciones complejas de la fórmula cuadrática con coeficientes reales.

Propiedades

Estas propiedades se aplican a todos los números complejos z y w, a menos que se indique lo contrario.

\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w} \!\
\overline{(z - w)} = \overline{z} - \overline{w} \!\
\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} \!\
\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} si w es distinto de cero
\overline{z} = z \!\ si y solo si z es real
\overline{z^n} = \overline{z}^n para todo entero n
\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|
{\left| z \right|}^2 = z\overline{z} = \overline{z}z
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2} si z es distinto de cero

Esta última fórmula es el método normalmente utilizado para encontrar el inverso de un número complejo si el número está expresado en coordenadas rectangulares.

\exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}\,\!
\log(\overline{z}) = \overline{\log(z)}\,\! si z es distinto de cero

Véase también

  • Espacio vectorial de conjugados

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • matemática — ► sustantivo femenino 1 MATEMÁTICAS Disciplina que mediante el razonamiento deductivo estudia las relaciones entre las cantidades y las magnitudes, y las operaciones entre éstas. 2 MATEMÁTICAS Conjunto de las disciplinas matemáticas que se… …   Enciclopedia Universal

  • Método del gradiente conjugado — En matemática, el método del gradiente conjugado es un algoritmo para resolver numéricamente los sistemas de ecuaciones lineales cuyas matrices son simétricas y definidas positivas. Es un método iterativo, así que se puede aplicar a los sistemas… …   Wikipedia Español

  • Órbita (matemática) — Saltar a navegación, búsqueda En matemática, en la teoría de grupos una órbita de un elemento g de un grupo G es la clase de equivalencia orbg que contiene todos los elementos del grupo que se relacionan con g bajo una relación de equivalencia… …   Wikipedia Español

  • Formulación matemática de la mecánica cuántica — Saltar a navegación, búsqueda La formulación matemática rigurosa de la mecánica cuántica fue desarrollada por Paul Adrien Maurice Dirac y John von Neumann. Dicha formulación canónica se basa en un conjunto de media docena de postulados… …   Wikipedia Español

  • Acción (matemática) — Para otros usos de la palabra acción, véase Acción. Una acción de un grupo (G, * ) sobre un conjunto X es una aplicación que cumple: donde e es el elemento neutro del grupo …   Wikipedia Español

  • Productos notables — es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la… …   Wikipedia Español

  • Número complejo — Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical. El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo… …   Wikipedia Español

  • Raíz cuadrada — Expresión matemática de raíz cuadrada de X . La …   Wikipedia Español

  • Movimiento (física) — Para otros usos de este término, véase Movimiento. El movimiento es un cambio de posición respecto del tiempo. En mecánica, el movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición en el espacio que experimentan los cuerpos… …   Wikipedia Español

  • Vector propio y valor propio — Fig. 1. En esta transformación de la Mona Lisa, la imagen se ha deformado de tal forma que su eje vertical no ha cambiado. (nota: se han recortado las esquinas en la imagen de la derecha) …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”