Formulación matemática de la mecánica cuántica

Formulación matemática de la mecánica cuántica

Formulación matemática de la mecánica cuántica

La formulación matemática rigurosa de la mecánica cuántica fue desarrollada por Paul Adrien Maurice Dirac y John von Neumann. Dicha formulación canónica se basa en un conjunto de media docena de postulados (dependiendo de la formulaciones). Este artículo presenta una enumeración más o menos canónica de dichos postulados fundamentales.

Contenido

Postulado I

Artículo principal: Notación braket

Todo estado cuántico está representado por una función vectorial normalizada, llamado en algunos casos "vector de estado", que debe cumplir las propiedades del producto escalar en el espacio de Hilbert complejo y separable ξ (espacios compacto con estructura vectorial y de funciones). Fijada una base del espacio de Hilbert unitaria \{|u_n \rangle\}_{n=1}^{N} tal que,[1]

\left\{u_n (\vec{r})\in\xi\quad;\quad\left(u_n,u_m\right)=\delta_{nm}\quad;\quad \forall\psi (\vec{r})\in\xi\rightarrow\psi (\vec{r})=\sum_{i=1}^{N}{c_i u_i(\vec{r})}\right\}

se puede representar el estado de las siguientes formas vectoriales:

  1. Forma ket:
 \text{rep}_{\vec{u}}\left(| \psi \rangle\right) = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \langle u_1|\psi\rangle \\ \langle u_2|\psi\rangle \\ \vdots \end{pmatrix}
  1. Forma bra:
\text{rep}_{\vec{u}}\left( \langle \psi|\right) = \left( c^*_1\ c^*_2\ \cdots\right)=\left( \langle\psi|u_1 \rangle \ \langle\psi|u_2 \rangle \ \cdots\right),

donde la "*" significa complejo conjugado.

El estado cuántico normalizado debe cumplir:  \|\psi\|^2=\langle\psi|\psi\rangle=1 . La elección del estado normalizado no es única ya que |\psi \rangle y e^{i\theta}|\psi \rangle representan el mismo estado ya que la medida de cualquier magnitud en ellos es idéntica.

Postulado II

Los observables de un sistema están representados por operadores lineales hermíticos (autoadjuntos). El conjunto de autovalores (valores propios) del observable \mathcal{O} recibe el nombre de espectro y sus autovectores (vectores propios), exactos o aproximados, definen una base en el espacio de Hilbert.

En la misma base unitaria \{|u_n \rangle\}_{n=1}^{N}, los representantes de un observable \mathcal{O} se definen como:

\text{rep}_{\vec{u}}\mathcal{O}=\left[\begin{array}{ccc}
o_{11} & \dots & o_{1n} \\
\vdots & o_{ij} & \vdots \\
o_{n1} & \dots & o_{nn} \\
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}
<u_1|\mathcal{O}|u_1> & \dots & <u_1|\mathcal{O}|u_n> \\
\vdots & <u_i|\mathcal{O}|u_j> & \vdots \\
<u_n|\mathcal{O}|u_1> & \dots & <u_n|\mathcal{O}|u_n> \\
\end{array}\right]

En dimensión finita, los autovalores λi se encuentran diagonalizando el representante del operador: igualando a cero el siguiente determinante:  |\mathcal{O} - \lambda \mathbb{I}| =0 y los autovectores resolviendo el siguiente sistema de n ecuaciones:  \mathcal{O} o_i = \lambda_i o_i \qquad \forall i=1,2, \ldots ,n

En la práctica, el espacio de Hilbert de la mayoría de sistemas reales es de dimensión infinita y el cálculo de autovalores y autovectores es un problema matemático un poco más complicado que el que debe hacerse en dimensión finita.

Postulado III

Cuando un sistema está en el estado |\psi\rangle , la medida de un observable A dará como resultado el valor propio a, con una probabilidad P_{A| \psi \rangle} = |\langle a | \psi \rangle|^2 , donde  |a\rangle es el vector propio asociado al autovalor a (en notación del espacio de Hilbert esto se expresa como A |a\rangle = a |a\rangle).

Como consecuencia de este postulado el valor esperado será:  \langle A \rangle_{|\psi \rangle} = \sum_{i} \lambda_i |\langle a_i | \psi \rangle|^2 = \langle \psi | A| \psi \rangle

Llamaremos dispersión o incertidumbre a la raíz cuadrada de la varianza. Ésta se calcula así:  \Delta_{|\psi\rangle}A = \sqrt{\langle \psi | A^2| \psi \rangle - \langle \psi | A| \psi \rangle^2}


Principio de incertidumbre

Artículo principal: Principio de indeterminación de Heisenberg

El producto de las dispersiones de dos observables sobre el mismo estado está acotado.

 \Delta A \Delta B \ge \frac{1}{2} \langle \psi | [A,B]| \psi \rangle

Para el caso de los observables típicos de posición (X) y momento (Px) tenemos:

 \Delta X \Delta P_x \ge \frac{\hbar}{2}

Esto es porque las variables X y Px son canónicas conjugadas, es decir que el conmutador  [X,P_x]=i \hbar.

Postulado IV

Para cualquier estado  |\psi\rangle sobre el cual se hace una medida de A que filtra al estado  |a_i\rangle , pasa a encontrarse precisamente en ese estado  |a_i\rangle , si no se ha destruido durante el proceso.

Éste es el postulado más conflictivo de la mecánica cuántica ya que supone el colapso instantáneo de nuestro conocimiento sobre el sistema al hacer una medida filtrante.

Postulado V

La evolución temporal de un sistema se rige por la ecuación de Schrödinger:

i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \mathcal{H} |\psi(t)\rangle

Donde H es el operador de Hamilton o hamiltoniano del sistema, que corresponde a la energía del sistema.

Postulado VI

Los operadores de posición y momento satisfacen las siguientes reglas de conmutación:

 [X_i,X_j]=0 \qquad [P_i,P_j]=0 \qquad [X_i,P_j]=i\hbar \delta_{ij}\mathbb{I}

Nomenclatura usada

 |\psi \rangle \rightarrow Estado cuántico
 A \rightarrow Observable
 \lambda_i \rightarrow Autovalor
 a_i \rightarrow Autovector
 \mathbb{I} \rightarrow Matriz identidad
\hbar\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{h}{2\pi} = \,\,\, 1.054\ 571\ 68(18)\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s} Constante reducida de Planck (h-barra)
 [A,B] = AB - BA \rightarrow Conmutador

Véase también

Referencias

  1. Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Franck Laloë (1977). Quantum Mechanics, vol.1, 3ª edición, París, Francia: Hermann, pp. 898. ISBN 0-471-16432-1.
Obtenido de "Formulaci%C3%B3n matem%C3%A1tica de la mec%C3%A1nica cu%C3%A1ntica"

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