Acción (matemática)

Acción (matemática)
Para otros usos de la palabra acción, véase Acción.

Una acción de un grupo (G, * ) sobre un conjunto X es una aplicación \phi:G\times X\to X que cumple:

  1. \forall x\in X,\ \phi(e,x)=xdonde e es el elemento neutro del grupo.
  2. \forall x\in X,\,g,h\in G,\ \phi(g*h,x)=\phi(g,\phi(h,x)).

Estas dos condiciones implican que, para cada elemento g de G, la aplicación \phi(g,\cdot): X\to X es una función biyectiva. Otra posible definición, que se deriva de esto, es que una acción es un homomorfismo de grupos.

\phi: G \to \{\mbox{funciones biyectivas }X\to X\}.

Contenido

Notación alternativa

Otra notación utilizada para las acciones es (g,x)\mapsto g\bullet x. Así los axiomas de acción se reescriben:

    1. e\bullet x=x
    2. (gh)\bullet x=g\bullet (h\bullet x)

Ejemplos

Ejemplo: El ejemplo más sencillo es la representación trivial: para cualquier g\in G y x\in X, ϕ(g,x) = x.

Ejemplo: El grupo de tres elementos \Z_3=\{0,1,2\} actúa sobre el plano complejo \mathbb{C} de la siguiente manera:

  • ϕ(0,x) = x
  • ϕ(1,x) = wx
  • ϕ(2,x) = w2x

donde w es una raíz cúbica de la unidad (si tomamos la raíz w = 1 la representación es trivial).

Un tipo importante de acción es aquella en la que X es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.

Tipos de acción

  • Una acción de un grupo se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto X, si dados dos elementos x e y cualesquiera del conjunto X, existe un elemento g del grupo que aplica el x en y, es decir: \exists g \in G: \phi(g,x) = y.

Órbita

En teoría de grupos la órbita de un elemento \ g de un grupo \ G, es la clase de equivalencia \ orb_g que contiene todos los elementos del grupo que se relacionan con \ g bajo una relación de equivalencia específica.

Un ejemplo es la relación en grupo \ G dada por \ x \sim y si y sólo si \ x es conjugado a \ y; esto es, si existe un elemento \ a del grupo tal que \ x=aya^{-1}.

La órbita de \ x son todos los elementos de \ G que pueden ser alcanzados mediante una conjugación desde \ x.

En este caso la órbita también se llama clase de conjugación del elemento.

Obsérvese que dos órbitas de dos elementos (diferentes tal vez) son iguales ssi los elementos son equivalentes . O bien dos órbitas son iguales o disjuntas.

Órbitas y estabilizadores

Con una acción de un grupo \ G en un conjunto \ X uno tiene los siguientes conceptos: para cada \xi\in X tenemos el estabilizador de \xi\

St(\xi)=\{g\in G\ :\ g * \xi=\xi\}

y que son los elementos del grupo que actúan trivialmente sobre el elemento \xi\ . Es un subgrupo de \ G y también es llamado subgrupo de isotropía que no necesariamente es un subgrupo normal.

Y para el mismo \xi\ , la órbita:

Orb(\xi)=\{x\in X\ :\ g * \xi=x, \exists g\in G\}

que son los elementos del conjunto \ X que se alcanzan desde \xi\ por la acción de \ G.

Con estos dos conceptos tenemos:

  • Hay una biyección Orb(\xi)\to G/St(\xi).
  • Las diferentes órbitas forman una partición de \ X.
  • Si \eta\in Orb(\xi) entonces St(\eta)=gSt(\xi)g^{-1}\,, donde \ g*\xi=\eta.

Ecuación de clase

Bajo estas circunstancias tenemos la descomposición orbital

X=\bigsqcup_jOrb(\xi_j)

que es una unión disjunta. Por lo que

\#X=\sum_j\#Orb(\xi_j)

Además de que los números \#Orb(\xi_j)=\#(G/St(\xi_j))=[G:St(\xi_j)], siendo estos últimos los índices de los subgrupos St(\xi_j)\,. Por lo que uno obtiene la proto-ecuación de clase (ecuación de clase):

\#X=\sum_j[G:St(\xi_j)]

Un caso especial de esta fórmula es cuando el grupo G actúa sobre sí mismo por conjugación: g\bullet x=gxg^{-1} y con ésta uno obtiene la maquinaria efectiva para demostrar algunos resultados para los grupos finitos: el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

Referencias

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