- Acción (matemática)
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Una acción de un grupo (G, * ) sobre un conjunto X es una aplicación
que cumple:
donde e es el elemento neutro del grupo.
.
Estas dos condiciones implican que, para cada elemento g de G, la aplicación
es una función biyectiva. Otra posible definición, que se deriva de esto, es que una acción es un homomorfismo de grupos.
.
Contenido
Notación alternativa
Otra notación utilizada para las acciones es
. Así los axiomas de acción se reescriben:
Ejemplos
Ejemplo: El ejemplo más sencillo es la representación trivial: para cualquier
y
, ϕ(g,x) = x.
Ejemplo: El grupo de tres elementos
actúa sobre el plano complejo
de la siguiente manera:
- ϕ(0,x) = x
- ϕ(1,x) = wx
- ϕ(2,x) = w2x
donde w es una raíz cúbica de la unidad (si tomamos la raíz w = 1 la representación es trivial).
Un tipo importante de acción es aquella en la que X es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.
Tipos de acción
- Una acción de un grupo se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto X, si dados dos elementos x e y cualesquiera del conjunto X, existe un elemento g del grupo que aplica el x en y, es decir:
.
Órbita
En teoría de grupos la órbita de un elemento
de un grupo
, es la clase de equivalencia
que contiene todos los elementos del grupo que se relacionan con
bajo una relación de equivalencia específica.
Un ejemplo es la relación en grupo
dada por
si y sólo si
es conjugado a
; esto es, si existe un elemento
del grupo tal que
.
La órbita de
son todos los elementos de
que pueden ser alcanzados mediante una conjugación desde
.
En este caso la órbita también se llama clase de conjugación del elemento.
Obsérvese que dos órbitas de dos elementos (diferentes tal vez) son iguales ssi los elementos son equivalentes . O bien dos órbitas son iguales o disjuntas.
Órbitas y estabilizadores
Con una acción de un grupo
en un conjunto
uno tiene los siguientes conceptos: para cada
tenemos el estabilizador de
y que son los elementos del grupo que actúan trivialmente sobre el elemento
. Es un subgrupo de
y también es llamado subgrupo de isotropía que no necesariamente es un subgrupo normal.
Y para el mismo
, la órbita:
que son los elementos del conjunto
que se alcanzan desde
por la acción de
.
Con estos dos conceptos tenemos:
- Hay una biyección
.
- Las diferentes órbitas forman una partición de
.
- Si
entonces
, donde
.
Ecuación de clase
Bajo estas circunstancias tenemos la descomposición orbital
que es una unión disjunta. Por lo que
Además de que los números
, siendo estos últimos los índices de los subgrupos
. Por lo que uno obtiene la proto-ecuación de clase (ecuación de clase):
Un caso especial de esta fórmula es cuando el grupo G actúa sobre sí mismo por conjugación:
y con ésta uno obtiene la maquinaria efectiva para demostrar algunos resultados para los grupos finitos: el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.
Referencias
- Herstein
- Lang
- Hall
- Burnside
- Kurosch
- Gallian
- Dorronsoro
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