Convergencia

Para otros usos de este término, véase convergencia (desambiguación).

En análisis matemático, el concepto de convergencia hace referencia a la propiedad que poseen algunas sucesiones numéricas de tender a un límite. Este concepto es bien general y dependiendo de la naturaleza del conjunto donde se encuentre definida la sucesión, puede adoptar varias formas.

Definición

Una sucesión de elementos $\{x_n\}\,$ de un espacio métrico $(M,d\,)$ converge a un elemento $x\in M$ si para todo número $\varepsilon> 0,$ existe un entero positivo $N \,$ (que depende de $\varepsilon$ ) tal que

(1) $n\ge N \quad \Longrightarrow \quad d(x_n,x) < \varepsilon.$

En tal caso, se acostumbra escribir

$\lim_{n \to \infty} x_n = x$

o también

$x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty$

o simplemente

$x_n \to x.$

Intuitivamente, esto significa que los elementos $x_n\,$ de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a $x\,$ si $n\,$ es suficientemente grande, ya que $d(x_n,x\,)$ determina la distancia entre $x_n\,$ y $x\,$ . A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.

La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con producto interno. En el caso de un espacio normado $(E,\Vert \cdot\Vert),$ la norma $\Vert \cdot\Vert$ induce la métrica $d(x,y):=\Vert y - x\Vert$ para cada $x,y\in E$ ; en el caso de un espacio con producto interno $(E,\langle \cdot, \cdot\rangle),$ el producto interno $\langle \cdot, \cdot\rangle$ induce la norma $\Vert x\Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ para cada $x\in E.$

Ejemplos

Sucesiones en $\mathbb R$ ó $\mathbb C$

El conjunto de los números reales $\mathbb R$ al igual que el conjunto de los números complejos $\mathbb C$ se constituyen en un espacio métrico por medio del valor absoluto: para cada par de elementos $x,\, y$ en $\mathbb R$ ó $\mathbb C$ , la función $d(x,y):=\vert y-x\vert$ determina una métrica.

Por tanto, de acuerdo a (1), una sucesión $\{x_n\}\,$ en $M = \mathbb R$ converge a un $x\in \mathbb R$ si para todo $\varepsilon>0$ , existe un entero $N\,$ tal que

$n\ge N \quad \Longrightarrow \quad |x_n-x| < \varepsilon.$

Como ejemplos podemos considerar:

La sucesión constante definida por $x_n:=c\,$ para todo $n\,$ , donde $c\in\mathbb R$ . Esta sucesión converge a $c\,$ pues

$|x_n-c|=|c-c|=0 < \varepsilon$

para todo $n.\,$

La sucesión $x_n:=1/n.\,$ Esta sucesión converge a cero, pues por la propiedad arquimediana de los números reales, para cada $\varepsilon>0$ , exite número natural $N\,$ tal que $N \varepsilon >1$ y por tanto, si $n>N,\,$ $1/n<1/N\,$ y

$|x_n-0|=|x_n|=1/n < 1/N < \varepsilon.$

La sucesión del ejemplo anterior es un caso particular de un resultado más general. Dado $p>0,\,$

$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^p}=0\, , \quad \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{p}=1\,, \quad \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1$

Si $|a|<1,\,$ entonces $a^n \to 0.$

La sucesión $z_n:=e^{i \pi n}\,$ . Esta sucesión no converge, sus valores oscilantes son $-1,1,-1,1,\ldots$

Debido a que $\mathbb C$ (en particular $\mathbb R$ ) está dotado de una operación suma (lo que no ocurre en todo espacio métrico), a cada sucesión $\{a_n\}\,$ en $\mathbb C$ (en particular $\mathbb R$ ) es posible asociarle la sucesión de sumas parciales

(2) $s_n:=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\,.$

La sucesión $\{s_n\}\,$ se expresa simbólicamente como

(3) $\sum_{k=1}^{\infty}a_k\,$

y se le denomina serie infinita. En el caso en que la sucesión de sumas parciales (2) converja, $s_n \to s$ , se dice que (3) es una serie convergente y se escribe

$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=s.\,$

En caso contrario se dice que (3) es una serie divergente. Ejemplos clásicos de series convergentes y divergentes son

$\sum_{n=1}^{\infty}a^n = \frac{a}{1-a} , (|a|<1)\ , \quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty$

Observemos que la definición de convergencia nos dice que una sucesión $\{x_n\,\}$ en un espacio métrico $M\,$ converge a un $x\in M\,$ si la sucesión de números reales $a_n:=d(x_n,x\,)$ converge a cero en $\mathbb R$ , i.e.,

$x_n \to x \ \ \mbox{en}\ M \quad \Longleftrightarrow \quad d(x_n,x) \to 0 \ \ \mbox{en}\ \mathbb R$

Sucesiones en $\mathbb R^n$

Sucesiones en el espacio $\ell^p$

Sucesiones en el espacio $L^2({\mathbb R}^n)$

Sucesiones en el espacio de las funciones continuas $C[a,b]\,$

Sucesiones de Cauchy

Para determinar la convergencia de una sucesión a partir de la definición es necesario conocer de antemano el elemento hacia el cual ésta converge. Dicha información por lo general se desconoce. Para una gran variedad de espacios, existe un criterio para determinar la convergencia de una sucesión sin conocer su límite.

Una sucesión $\{x_n\}\,$ en un espacio métrico $M\,$ es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon>0$ , existe un entero positivo $N\,$ (que depende de $\varepsilon$ ) tal que

(4) $m,n >N \Longrightarrow d(x_n,x_m) < \varepsilon.$

Intuitivamente, esto signfica que la distancia entre los elementos $x_n\,$ y $x_m\,$ de la sucesión se hace arbritrariamente pequeña si $n\,$ y $m\,$ son lo suficientemente grandes.

Si $\{x_n\}\,$ es una sucesión convergente, existe un $x\in M$ tal que $x_n\to x\,$ y por la desigualdad triangular,

$d(x_n,x_m) \le d(x_n,x) + d(x,x_m) \to 0.$

Por lo tanto, toda sucesión convergente es de Cauchy. Sin embargo, el enunciado recíproco no siempre es válido y no toda sucesión de Cauchy es convergente: la sucesión de números racionales $\{1, \tfrac{3}{2}, \tfrac{17}{12},\ldots\}\,$ definida por $x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{2}{x_n}}{2}$ para $n\ge 2$ con $x_1=1\,$ es una sucesión de Cauchy en $\mathbb Q$ que no es convergente, pues su límite es el número irracional $\sqrt{2}.$

Un espacio métrico en el que toda sucesión de Cauchy es convergente se denomina completo. Los racionales son un ejemplo de un espacio que no es completo mientras que $\mathbb R$ y $\mathbb C$ constituyen ejemplos de espacios métricos completos. Por consiguiente, una condición suficiente y necesaria para que una sucesión $\{x_n\}\,$ de números reales (o complejos) converja, viene dada por (4), con $d(x_n,x_m)=\vert x_m - x_n\vert.$ En particular, cuando la condición se aplica a la sucesión de sumas parciales (2),

$d(s_n,s_m) = \left\vert s_n - s_m \right\vert = \left\vert\sum_{k=m}^n a_k \right\vert$

y se obtiene el criterio de convergencia de Cauchy: una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ es convergente si, y sólo si, para todo $\varepsilon>0,$ existe un entero $N\,$ tal que

$n,m > N \quad \Longrightarrow \quad \left\vert\sum_{k=m}^n a_k \right\vert < \varepsilon.$

A los espacios vectoriales normados y completos se les denominan espacios de Banach en honor al trabajo desarrollado por el matemático polaco Stefan Banach. Estos espacios constituyen uno de los objetos centrales de estudio del análisis funcional. Ejemplos de espacios de Banach comunes son $\mathbb R^n,\,$ $\mathbb C^n,\,$ el espacio $L^p(\mathbb R^n),\,$ el espacio $\mathcal L (E,F)$ de los operadores lineales continuos de un espacio vectorial $E\,$ en un espacio vectorial $F\,$ y el espacio de la funciones continuas con valores complejos $C(K)\,$ con $K\subset \mathbb R^n\,$ compacto.

Los espacios de Banach cuya norma proviene de un producto interno se denominan espacios de Hilbert, en reconocimiento al trabajo desarrollado por el matemático alemán David Hilbert a comienzos del siglo XX. Ejemplos de espacios de Hilbert son $\mathbb K^n\,$ con $\mathbb K=\mathbb R$ ó $\mathbb K=\mathbb C,$ el espacio de las sucesiones complejas cuadrado-sumables $\ell^2(\mathbb K)$ y el espacio de las funciones cuadrado-integrables en el sentido de Lebesgue $L^2(\mathbb R^n).$ Una gran variedad de espacios de Hilbert que se presentan en la práctica son separables y son en particular los espacios $\mathbb K^n$ y $\ell^2(\mathbb K)$ los prototipos principales de espacios de Hilbert, pues todo espacio de Hilbert separable de dimensión finita $n\,$ es isomorfo a $\mathbb K^n$ mientras que todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomorfo a $\ell^2(\mathbb K)$ .

Tipos de convergencia

Los varios tipos de convergencia se obtiene principalmente por hacer modificaciones menores en la definición básica. He aquí los tipos de convergencia más comunes: (Las diferencias entre sus definiciones y la definición básica se marca en cursiva.)

Convergencia puntual

El concepto de convergencia puntual es uno de los varios sentidos en los cuales una sucesión de funciones puede converger a una función particular.

Una sucesión de funciones $f_n:S\to M$ definidas en un conjunto no vacío $S\,$ con valores en un espacio métrico $(M,d\,)$ converge puntualmente a una función $f:S\to M$ si

$\lim_{n\to \infty} f_n(x) = f(x)$

para cada $x\in S$ fijo. Esto significa que

(5) $\forall x\in S\quad \forall \varepsilon>0\quad \exist\, N\in \mathbb N\quad |\quad n \ge N\ \Longrightarrow\ d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon.$

La sucesión de funciones $f_n(x):=x/n\,$ con $x\in [0,1]$ converge puntualmente a la función $f(x):=0\,$ puesto que

$\left\vert\frac{x}{n}\right\vert \le \frac{1}{n} \to 0$

para cada $x\in [0,1]$ fijo.

Convergencia uniforme

Una sucesión de funciones $f_n:S\to M$ definidas en un conjunto no vacío $S\,$ con valores en un espacio métrico $(M,d\,)$ converge uniformemente a una función $f:S\to M$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un entero $N\,$ (que depende de $\varepsilon$ ) tal que

$d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon$

para todo $x\in S$ y todo $n \ge N$ . Es decir,

(6) $\forall \varepsilon>0\quad \exist\, N\in \mathbb N\quad |\quad d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon\quad \forall x\in S\quad \forall n\ge N.$

El concepto de convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. En (5), $N\,$ puede depender de $\varepsilon$ y de $x\,$ mientras que en (6), $N\,$ sólo puede depender de $\varepsilon$ . Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión de funciones $f_n:[0,1]\to \mathbb R$ definidas por $f_n(x) = x^n\,$ . Esta sucesión converge puntualmente a la función

$f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{si}\quad 0\le x < 1 \\ 1, & \mbox{si}\quad x=1 \end{cases}$

ya que

$|f_n(x)-f(x)| = |x^n| \to 0 \quad \mbox{si}\quad 0\le x < 1$

mientras que $\vert f_n(1)-f(1)\vert = 0.$ Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, pues para $\varepsilon=1/4,$ no existe un $N\,$ que satisfaga (5).

De especial interés es el espacio de las funciones continuas $C(\Omega)\,$ definidas sobre un compacto $\Omega\subset \mathbb R^n.$ En este caso, una sucesión de funciones $f_n\in C(\Omega),\,$ converge uniformemente a una función $f\in C(\Omega),\,$ si, y sólo si, converge en la norma del sup, i.e.,

$f_n \stackrel{u}{\longrightarrow}\ f \quad \Longleftrightarrow \quad f_n \stackrel{ \Vert \cdot\Vert}{\longrightarrow}\ f$

Convergencia uniforme sobre compactos

Convergencia débil

Una sucesion se dice que converge debilmente a x o en sentido debil si para toda funcional lineal f, f(Xn) converge a x.

Por ejemplo la serie 1/n desde n=1 hasta infinito converge débilmente a cero. Pues: lim f(1/n) = lim n/n*f(1/n) = lim 1/n*f(n/n) = lim 1/n*f(1) = 0 Todo esto, pues f es lineal.

Convergencia en espacios topológicos

Artículo principal: red (matemática)

Obtenido de "Convergencia"

Categorías: Wikipedia:Fusionar | Sucesiones | Series matemáticas

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Sinónimos:

concurrencia, confluencia, reunión, coincidencia, concentración

Antónimos:

separación, divergencia

Mira otros diccionarios:

convergencia — f. fisiol. Movimiento coordinado de los ojos en el que sus ejes se desvían simultáneamente hacia el punto de visión. La convergencia ocular se produce para poder observar los objetos cercanos; para ello tiene lugar una modificación del cristalino … Diccionario médico
convergencia — sustantivo femenino 1. (no contable) Unión de dos o más cosas en un punto físico o en un aspecto: convergencia de carreteras, convergencia de ideas, la convergencia de dos fuerzas en un punto del espacio. Por fin se ha logrado la convergencia de… … Diccionario Salamanca de la Lengua Española
Convergencia — (dt.: Konvergenz) ist der Name einer 1999 gegründeten sozialdemokratischen Partei in Mexiko. Seit 2002 trägt sie den Namen Convergencia por la Democracia. Die Parteifarben sind orange und blau. Bei der Präsidentschaftswahl 2006 trat die… … Deutsch Wikipedia
convergência — s. f. 1. Disposição de linhas, raios luminosos ou elétricos que se dirigem para o mesmo ponto. 2. [Figurado] Tendência de várias coisas para se fixarem num ponto ou se identificarem … Dicionário da Língua Portuguesa
convergencia — (Del lat. convergens, entis, convergente). f. Acción y efecto de convergir … Diccionario de la lengua española
Convergencia — ► sustantivo femenino 1 Acción de converger. ANTÓNIMO divergencia 2 Lugar o punto en que convergen dos cosas: ■ en la convergencia de las dos calles hay una plaza. SINÓNIMO confluencia 3 MECÁNICA Ligera inclinación hacia el interior de las ruedas … Enciclopedia Universal
convergencia — {{＃}}{{LM C10348}}{{〓}} {{SynC10596}} {{［}}convergencia{{］}} ‹con·ver·gen·cia› {{《}}▍ s.f.{{》}} Unión o coincidencia en un mismo punto o en un mismo fin: • Esta plaza es punto de convergencia de varias calles.{{○}} {{＃}}{{LM SynC10596}}{{〓}}… … Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos
convergencia — (f) (Intermedio) encuentro de varias cosas en un punto Ejemplos: Lo siento pero no hay convergencia entre este pasillo y el que estás buscando, debes bajar a la segunda planta. El casco antiguo es el lugar de convergencia de todas las calles… … Español Extremo Basic and Intermediate
convergencia — Eng. Convergence Vergencia en la cual los ejes visuales de ambos ojos tienden a confluir. Convergencia positiva … Diccionario de oftalmología
Convergencia (partido político) — Convergencia Partido Político Nacional Presidente Luis Walton Aburto (último) Fundación 30 de junio de … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Convergencia

Convergencia

Contenido

Definición

Ejemplos

Sucesiones de Cauchy