Espacio prehilbertiano

Espacio prehilbertiano

Espacio prehilbertiano

En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par (V,\langle \cdot | \cdot \rangle), donde V\, es un espacio vectorial sobre un cuerpo \mathbb{K} y \langle \cdot | \cdot \rangle es un producto escalar en V\,.

El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.

Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.

Una condición necesaria para que un espacio perhilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base \mathbb{K} sea \mathbb{R} o \mathbb{C}, así ningún espacio prehilbertiano sobre \mathbb{Q} puede ser un espacio de Hilbert.


Definiciones

Formalmente, un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (Puede ser R o C), el cual posee una operación definida con la siguiente función:

\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbf{K}

llamada producto escalar, que satisface ciertos axiomas:

  • Hermítica.
\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.
Nótese que si K=R, la propiedad de hermítica es la simetría ordinaria:
\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.
Esta condición implica que \langle x,x\rangle \in \mathbf{R} para todo x \in V , porque \langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle} .
  • Sesquilineal:
\forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.
\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.
Combinando esta propiedad con la de ser hermítica:
\forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.
\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.


En el caso de que el cuerpo sea R esta propiedad implica que el producto escalar es bilineal.
  • Definida positiva:
\forall x \in V,\ \langle x,x\rangle \ge 0. (Tiene sentido, ya que \langle x,x\rangle \in \mathbf{R} para todo x\in V .)
Además, el único vector que al hacer el producto escalar con él mismo es cero, es el vector nulo. Esto se expresa así:
\langle x,x\rangle = 0 \; \mbox{ sii } x = 0.

Normas en espacios prehilbertianos

En los espacios con producto escalar se define una norma

\|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle}.

La norma está bien definida, por ser siempre el producto escalar de un vector por sí mismo un número real mayor o igual que cero. En espacios euclídeos define la "longitud" del vector x. Además se trata de una norma por cumplir las condiciones:

  • \|x \| es siempre positiva y vale cero si y solamente si x vale cero.
\|r \cdot x\| = |r| \cdot \| x\|.
\|x + y\| \leq \|x \| + \|y\|.


Usando los axiomas ya mencionados podemos demostrar los siguientes teoremas:

|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|
la igualdad se cumple si y solo si x e y son linealmente dependientes
Esta es una de la más importantes desigualdades en la matemática. También es conocida en la literatura matemático rusa como la desigualdad Cauchy-Bunyakowski-Schwarz
La prueba de este teorema y sus aplicaciones pueden encontrarse en el artículo sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz
  • Ley del paralelogramo:
\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.
\|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x+y\|^2.
Estas últimas dos identidades sólo requieren expresar la definión de la norma en términos del producto interno, hacer las operaciones y usar los axiomas de norma.
Una fácil generalización del teoremá pitagórico que puede ser probada por inducción es la siguiente:
  • Si x1, ..., xn son vectores ortogonales, o sea, <xj, xk> = 0 para todo j, k distinto, entonces
\sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.

Ejemplos

  • Un ejemplo trivial son los números reales con la multiplicación estándar como producto interno.
\langle x,y\rangle := xy
  • Más generalmente, cualquier espacio Euclideano Rn con el producto escalar es un espacio con producto interno.
\langle (x_1,\ldots, x_n),(y_1,\ldots, y_n)\rangle := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n
tenemos la norma:
\|x\| =\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} = \sqrt{x_1^{2} + \cdots + x_n^{2}}.
Obtenido de "Espacio prehilbertiano"

Wikimedia foundation. 2010.

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