Espacio separable

Espacio separable

En topología, un espacio topológico es un espacio separable si incluye un subconjunto denso numerable.

Un espacio de Hilbert es separable si y solamente si admite una base ortonormal numerable.

Contenido

Espacios de Hilbert separables

Sea (H,<,>) un espacio de Hilbert separable. Si {ek}k ∈ B es una base ortonormal numerable de H, entonces cada elemento x de H se puede escribir como

x = \sum_{k \in B} \langle e_k , x \rangle e_k

Esta suma también se llama la expansión de Fourier de x.

Ejemplos de espacios de Hilbert son \mathbb K^n\, con \mathbb K=\mathbb R ó \mathbb K=\mathbb C, el espacio de las sucesiones complejas cuadrado-sumables \ell^2(\mathbb K) y el espacio de las funciones cuadrado-integrables en el sentido de Lebesgue L^2(\mathbb R^n). Una gran variedad de espacios de Hilbert que se presentan en la práctica son separables y son en particular los espacios \mathbb K^n y \ell^2(\mathbb K) los prototipos principales de espacios de Hilbert, pues todo espacio de Hilbert separable de dimensión finita n\, es isomorfo a \mathbb K^n mientras que todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomorfo a \ell^2(\mathbb K).

Ejemplos

Espacios separables

  • El conjunto de los números reales R con la topología usual es separable por ser el conjunto de los números racionales Q un subconjunto denso numerable. En general, el espacio euclídeo Rn es separable por ser Qn denso y numerable pues es el producto de conjuntos numerables.
  • Igualmente el conjunto de los números complejos C es separable siendo en general, el espacio euclídeo Cn también separable.

Espacios de Hilbert no-separables

  • El conjunto de todas las funciones reales f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, que sólo son diferentes de cero en un conjunto finito o contable de puntos Sf tales que:

\sum_{x\in S_f} |f(x)|^2 < \infty

Constituye un espacio de Hilbert no separable, dotado del producto escalar entre dos funciones f y g:

\langle f, g\rangle = \sum_{S_f \cap S_g} \overline{f(x)}g(x)

Necesariamente estas funciones de este espacio de Hibert no son continuas, ya que los espacios normados de funciones reales continuas definidas en \mathbb{R}^n son siempre separables.


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Espacio — Saltar a navegación, búsqueda Espacio (del latín spatium) se refiere: Especialmente al espacio físico, en el que se ubican los objetos sensibles; y la extensión que contiene toda la materia existente; la distancia entre dos cuerpos; la distancia… …   Wikipedia Español

  • Espacio de Hilbert — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, el concepto de espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio euclídeo. Esta generalización permite que nociones y técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de… …   Wikipedia Español

  • Espacio métrico — Saltar a navegación, búsqueda En matemática, un espacio métrico es un tipo particular de espacio topológico donde una distancia entre puntos está definida. Corresponde al caso muy común en que se dispone de una noción de distancia sobre el… …   Wikipedia Español

  • Espacio de Fock — Saltar a navegación, búsqueda El espacio de Fock , en mecánica cuántica es un espacio de Hilbert especial, que se construye como suma directa de productos tensoriales de otro espacio de Hilbert dado . Este espacio se usa para describir el estado… …   Wikipedia Español

  • Espacio dual — En matemáticas, la existencia de un espacio vectorial dual refleja de una manera abstracta la relación entre los vectores fila (1×n) y los vectores columna (n×1). La construcción puede darse también para los espacios infinito dimensionales y da… …   Wikipedia Español

  • Conjunto denso — Sea un espacio topológico, se dice que es un conjunto denso en si y solamente si , es decir, la clausura del conjunto es todo el espacio. Se cumple que las siguientes proposiciones para A son todas equivalentes: A es denso en X …   Wikipedia Español

  • Glosario de topología — Anexo:Glosario de topología Saltar a navegación, búsqueda Esto es un glosario de algunos términos que se usan en la rama de la matemática conocida como topología. Este glosario estará centrado fundamentalmente en lo que podemos llamar la… …   Wikipedia Español

  • Anexo:Glosario de topología — Esto es un glosario de algunos términos que se usan en la rama de la matemática conocida como topología. Este glosario estará centrado fundamentalmente en lo que podemos llamar la topología general y en las definiciones que sean importantes para… …   Wikipedia Español

  • Convergencia — Saltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase convergencia (desambiguación). En análisis matemático, el concepto de convergencia hace referencia a la propiedad que poseen algunas sucesiones numéricas de tender a un límite.… …   Wikipedia Español

  • Emmy Noether — Amalie Emmy Noether Nacimiento 23 de marzo de 1882 Erlangen, Baviera, Alemania Fallecimiento …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”