Criterio de Euler

Criterio de Euler

Criterio de Euler

En Matemáticas, el criterio de Euler es utilizado para calcular residuos cuadráticos

Definición

Sea p > 2 un número primo. Entonces x es un residuo cuadrático módulo p si y sólo si

x^{(p-1)/2} \equiv 1 \pmod p

Demostración

Primer, suponemos que x \equiv y^2 \pmod p. Se sabe por el pequeño teorema de Fermat que si p es primo, entonces x^{p-1} \equiv 1 \pmod p . Luego tenemos

x(p − 1) / 2 \equiv (y^2)^{(p-1)/2} \pmod p
\equiv y^{p-1} \pmod p
\equiv 1 \pmod p

A la inversa, suponemos que x^{(p-1)/2} \equiv 1 \pmod p. Sea b un elemento primitivo modulo p. Entonces x \equiv b^i \pmod p para algún i. Entonces tenemos

x(p − 1) / 2 \equiv (b^i)^{(p-1)/2} \pmod p
\equiv b^{i(p-1)/2} \pmod p

Como b es de orden p-1, debe darse el caso que p-1 divide a i(p-1)/2. Por lo tanto, i es par, y las raíces cuadradas de x son \pm b^{i/2}

Obtenido de "Criterio de Euler"

Wikimedia foundation. 2010.

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