Curva elástica

Curva elástica

Curva elástica

La curva elástica o elástica es la deformada por flexión del eje longitudinal de una viga recta, la cual se debe a la aplicación de cargas transversales en el plano xy sobre la viga.

Contenido

Ecuación de la elástica

La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:

(1) \frac {d^2v(x)}{dx^2} = \frac {M_z(x)}{EI_z}

Donde:
v(x) \, representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas.
x \, la abcisa (eje X) sobre la viga.
M_z(x) \, el momento flector sobre la absciza x \,.
I_z \, el segundo momento de área o momento de inercia de la sección transversal.
E \, el módulo de elasticidad del material.

La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta (1'):

(1') \frac {d^2v(x)}{dx^2} = \frac {M_z(x)}{EI_z}\left[ 1+\left(\frac{dv(x)}{dx}\right)^2\right]^\frac{3}{2}

La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida q(x) sobre la viga:

(2) \frac{d^2}{dx^2} \left(EI_z \frac {d^2v(x)}{dx^2} \right)= q(x)

Esta última ecuación es interesante porque su generalización a elementos bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de gobierno de placas o ecuación de Lagrange para placas delgadas:

\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) \left[ EI_{pl} \left( \frac{\partial^2w(x,y)}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2w(x,y)}{\partial y^2}\right) \right] = q(x,y)

Donde D = EIpl es la rigidez de una placa delgada en flexión.

Ejemplo

Viga deformada por flexión


Para una viga elástica en la que se aplican sólo momentos M1 y M2, la forma de la curva elástica depende sólo de dos parámetros independientes, la forma aproximada de la deformada dependerá del valor y signo relativo de estos momentos, siendo un caso típico el mostrado en la figura adyacente. Escribiendo la ley de momentos flectores para los puntos intermedios de la viga y escogiendo las condiciones de contornos llegamos a la ecuación diferencial siguiente:


\frac{d^2v(x)}{dx^2} = \frac {1}{EI_z}\left( M_1+\frac{M_2-M_1}{L}x\right)
\begin{cases} v(L)-v(0) = \delta_2-\delta_1 = \delta \\ v'(L)-v'(0) = \theta_2-\theta_1 = \frac{\delta}{L} \end{cases}


La solución analítica de ecuación anterior con cualquiera de los dos posibles elecciones de contorno, se obtiene como:

v(x) = L(\theta_2-\theta_1)\left (-\frac{3x^3}{L^3}+\frac{5x^2}{L^2}-\frac{x}{L} \right )+ L\theta_2\left (\frac{2x^3}{L^3}-\frac{3x^2}{L^2}+\frac{x}{L} \right )

Cálculo de deformaciones en vigas

Método de integración

Este método consiste en la integración de la ecuación descrita en la sección anterior. Es necesario obtener primero la ley de variación del momento flector para la viga estudiada, tal como se hizo en el ejemplo anterior. Una vez conocida la ley de momentos flectores, se procede por integración directa.

Si se conoce para un punto concreto, digamos por ejemplo x = a, el desplazamiento vertical y el ángulo girado por la curva elástica alrededor de ese punto respecto a la posición original el resultado de la deformación el resultado de la integración directa es simplemente[1]

v(x) = v_a + \theta_a(x-a) + \int_a^x ds \int_a^s d\bar{s} \frac{M_z(\bar{s})}{EI}

El llamado método del área-momento, es en realidad una versión en términos geométricos del método de integración. De acuerdo con esta versión la doble integral en la ecuación anterior puede calcularse del siguiente modo:

  1. Se calcula la superficie del área bajo la curva Mz/EI.
  2. Se calcula la distancia centroide del área anterior medida a partir del eje de la viga.
  3. La segunda integral buscada es el producto de las dos magnitudes anteriores.

Método de superposición

Artículo principal: Pendientes y deformaciones en vigas

El método de superposición usa el principio de superposición de la teoría de la elasticidad lineal. El método de superposición consiste en descomponer el problema inicial de cálculo de vigas en problemas o casos más simples, que sumados o "superpuestos" son equivalentes al problema original. Puesto que para los casos más sencillos existen tablas y fórmulas de pendientes y deformaciones en vigas al descomponer el problema original como combinaciones de los casos más simples recogidos en las tablas la solución del problema puede ser calculada sumando resultados de estas tablas y fórmulas.

Referencia

  1. ↑ Introducción de método de la segunda integración

Véase también

Obtenido de "Curva el%C3%A1stica"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Mira otros diccionarios:

  • Membrana elástica — Una membrana elástica es un elemento estructural de pequeño espesor y escasa rigidez flexional que sólo puede resistir tensiones de tracción. Contenido 1 Descripción geométrica 2 Ecuaciones de equilibrio 3 Membrana de Prandtl …   Wikipedia Español

  • Inestabilidad elástica — La inestabilidad elástica se refiere a un conjunto de fenómenos de no linealidad geométrica que se manifiesta en que los desplazamientos en un elemento estructural no son proporcionales a las fuerzas aplicadas. Esto se pone de manifiesto al… …   Wikipedia Español

  • Teoremas de Mohr — Los teoremas de Mohr, describen la relación entre el momento flector y las deformaciones que éste produce sobre una estructura. Los teoremas de Mohr permiten calcular deformaciones a partir del momento y viceversa. Son métodos de cálculo válidos… …   Wikipedia Español

  • Pandeo — Saltar a navegación, búsqueda Representación del fallo por pandeo flexional, por deflexión creciente. El pandeo es un fenómeno de inestabilidad elástica que puede darse en elementos comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de… …   Wikipedia Español

  • Flexión mecánica — Saltar a navegación, búsqueda En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término alargado se aplica cuando una dimensión es… …   Wikipedia Español

  • Pendientes y deformaciones en vigas — En este artículo se muestran las fórmulas que se aplican para calcular pendientes y deformaciones en vigas, o sea la flecha máxima y el giro en el apoyo para algunos casos particulares de la curva elástica que se produce en vigas sometidas a… …   Wikipedia Español

  • Resistencia de materiales — Saltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Resistencia. La resistencia de materiales clásica es una disciplina de la ingeniería mecánica y la ingeniería estructural que estudia los sólidos deformables mediante modelos… …   Wikipedia Español

  • Momento flector — Viga simplemente apoyada, solicitada a flexión por sobrecarga uniformemente distribuida. Flexión de u …   Wikipedia Español

  • Clotoide — Espiral de Cornu o clotoide ocoloide o clotoide (x,y)=(C(t), S(t)). La espiral converge al centro de los dos remolinos extremos de la imagen, a medida que t tiende a más infinito y menos infinito …   Wikipedia Español

  • Método matricial de la rigidez — El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. Contenido 1 Introducción 2 Fundamento teórico 3 Descripción del método …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”