Espacio completamente de Hausdorff

Espacio completamente de Hausdorff

Espacio completamente de Hausdorff

En topología, espacios completamente de Hausdorff y espacios de Urysohn' (o T2½) son tipos de espacios topológicos que satisfacen axiomas de separación más fuertes que los del espacio de Hausdorff.

Contenido

Definiciones

Supongamos que X es un espacio topológico. Sean x y y puntos en X.

  • Decimos que x y y pueden separarse por vecindades cerradas si existe una vecindada cerrada U de x y una vecindad cerrada V de y tal que U y V son disjuntos (U ∩ V = ∅). (Note que una vecindad cerrada de x es un conjunto cerrado que contienen un conjunto abierto conteniendo x.)
  • Decimos que x y y pueden ser separadas por una función si existe una función continua f : X → [0,1] (el intervalo unitario) con f(x) = 0 y f(y) = 1.

Un espacio de Urysohn, o espacio T2½, es un espacio en el cual dos puntos cualquiera pueden separarse por medio de vecindades cerradas.

Un espacio completamente de Haudorff, o espacio funcional de Hausdorff, es un espacio en el cual dos puntos distintos pueden separarse por una función.

Convenciones de nombres

El estudio de los axiomas de separación es notorio por los problemas con los nombres y sus convenciones. Las definiciones usadas en este artículo son las dadas por Willard (1970) y son las definiciones mas modernas. Steen y Seebach (1970) y otros autores invirtieron las definiciones de los espacios completamente de Hausdorff y los espacios de Urysohn.

Relación con otros axiomas de separación

Es un ejercicio sencillo mostrar que dos puntos cualquieras que pueden separarse por una función pueden separarse por vecindades cerradas. Si ellos pueden separarse por vecindades cerradas entonces claramente pueden separarse por vecindades. Se sigue que cada espacio completamente de Hausdorff es de Urysohn y cada espacio de Urysohn es de Hausdorff.

Uno puede mostrar también que cada espacio regular de Hausdorff es de Urysohn y cada espacio de Tychonoff (= espacio completamente regular de Hausdorff) es completamente de Hausdorff. En resúmen tenemos las siguientes implicaciones:

Tychonoff (T3½)  \Rightarrow  regular de Hausdorff (T3)
\Downarrow \Downarrow
Hausdorff completamente  \Rightarrow  Urysohn (T2½)  \Rightarrow  Hausdorff (T2)  \Rightarrow  ↑ Hausdorff space not completely Hausdorff en PlanetMath.

Referencias

  • Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR507446, ISBN 978-0-486-68735-3 
  • Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
Obtenido de "Espacio completamente de Hausdorff"

Wikimedia foundation. 2010.

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