Función trigonométrica compleja

Función trigonométrica compleja

Función trigonométrica compleja

Con ayuda de la función exponencial compleja se pueden definir las funciones trigonométricas complejas. Usando la fórmula de Euler:

e^{iy}= \cos y + i \sin y \,

e^{-iy}= \cos y - i \sin y \,

Entonces:

\cos y = \frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}

\sin y = \frac{e^{iy}- e^{-iy}}{2i}

Las últimas ecuaciones pueden extenderse a los complejos.

Contenido

Definición

El Seno y Coseno Complejo son:

\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

\sin z = \frac{e^{iz}- e^{-iz}}{2i}

Estas funciones son enteras, ya que son suma de funciones enteras.

Las otras cuatro funciones trigonométricas son:

\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}

\sec z = \frac{1}{\cos z}

Con cos z distinto de cero

\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}

\csc z = \frac{1}{\sin z}

Con sen z distinto de cero.

Propiedades

La mayoría de las identidades trigonométricas reales usuales son válidas en variable compleja, aunque las funciones sen z y cos z dejan de estar acotadas entre -1 y 1. Por ejemplo:

  • \cos^2 z + \sin^2 z = 1 \,
  • \sin{(z_1 + z_2)} = \sin z_1 \cos z_2 + \sin z_2 \cos z_1 \,

Ceros de cos z y sen z

Los ceros reales de sen z y cos z son sus únicos ceros.

\sin z = 0 \qquad \iff \qquad z= k\cdot\pi + 0\cdot i \qquad con \quad k\quad Entero

\cos z = 0 \qquad \iff \qquad z= (k+\frac{1}{2})\cdot\pi + 0\cdot i \qquad con \quad k\quad Entero

Derivadas

(\sin z)' = \cos z\,

(\cos z)' = - \sin z \,

Véase también

  • Análisis Matemático

Enlaces externos

Obtenido de "Funci%C3%B3n trigonom%C3%A9trica compleja"

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