Función generadora de momentos

En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria X es

$M_X(t) := E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},$

siempre que esta esperanza exista.

La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de t = 0, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

$E \left( X^n \right) = M_X^{(n)}(0) = \frac{d^n M_X}{dt^n}(0).$

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.^{[cita requerida]}

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde $\mathbf X = ( X_1, \ldots, X_n)$ es un vector aleatorio n-dimensional, se usa $\mathbf t \cdot \mathbf X = \mathbf t^\mathrm T\mathbf X$ en lugar de $t X$ :

$M_{\mathbf X}(\mathbf t) := E\left(e^{\mathbf t^\mathrm T\mathbf X}\right).$

Cálculo

Si X tiene una función de densidad continua, f(x), entonces la función generadora de momentos viene dada por

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x$

$= \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x$

$= 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,$

donde $m i$ es el i-ésimo momento. $M X ( - t)$ es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de f(x).

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)$

donde F es la función de distribución.

Si X₁, X₂, ..., X_n es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

$S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,$

donde las a_i son constantes, entonces la función de densidad de S_n es la convolución de la función de densidad de cada una de las X_i y la función generadora de momentos para S_n viene dada por

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt).$

Para variables aleatorias multidimensionales X con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

$M_X(t) = E\left( e^{\langle t, X \rangle}\right)$

donde t es un vector y $\langle t, X \rangle$ es el producto punto.

Relación con otras funciones

Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generadora de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

Función característica: La función característica $φ X (t)$ está relacionada con la función generadora de momentos via $φ X (t) = M i X (t) = M X (i t):$ La función característica es la función generadora de momentos de iX o la función generadora de momentos de X evaluada en los ejes imaginarios.

Función generadora acumulada: La función generadora acumulada está definida como el logaritmo de la función generadora de momentos; hay quien define la función generadora acumulada como el logaritmo de la función característica, mientras que otros llaman a esta función la segunda función generadora acumulada.

Función generadora de probabilidad

Véase también

Función factorial generadora de momentos
Función cociente
Tabla de funciones generadoras de momentos comunes

Categoría:

Teoría de probabilidades

Wikimedia foundation. 2010.

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