Distribución de Poisson

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**Distribución de Poisson**
Función de probabilidad El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.
Función de distribución de probabilidad El eje horizontal es el índice k.
Parámetros	$\lambda \in (0,\infty)$
Dominio	$k \in \{0,1,2,\ldots\}$
Función de probabilidad (fp)	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!$
Función de distribución (cdf)	$\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ for }k\ge 0$ (dónde $Γ(x, y)$ es la Función gamma incompleta)
Media	$\lambda\,$
Mediana	$\text{usualmente cerca de }\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor$
Moda	$\lfloor\lambda\rfloor\text{ (con }\lambda-1\text{ si }\lambda\text{ es un entero)}$
Varianza	$\lambda\,$
Coeficiente de simetría	$\lambda^{-1/2}\,$
Curtosis	$3+\lambda^{-1}\,$
Entropía	$\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}$
Función generadora de momentos (mgf)	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
Función característica	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento.

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Propiedades

La función de densidad de la distribución de Poisson es

$f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\!$

donde λ es un parámetro positivo que representa la frecuencia esperada del fenómeno modelado por la distribución.

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a $\scriptstyle\lfloor \lambda \rfloor$ , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos $\scriptstyle\lfloor \rfloor$ representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

$\mathrm{E}\left(e^{tX}\right)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} f(k;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} {\lambda^k e^{-\lambda} \over k!} =e^{\lambda(e^t-1)}.$

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ₀ a otra de parámetro λ es

$D_{\mathrm{KL}}(\lambda||\lambda_0) = \lambda \left( 1 - \frac{\lambda_0}{\lambda} + \frac{\lambda_0}{\lambda} \log \frac{\lambda_0}{\lambda} \right).$

Relación con otras distribuciones

Sumas de variables aleatorias de Poisson

La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si

$X_i \sim \mathrm{Poi}(\lambda_i)\,, i=1,\dots, N$

son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces

$Y = \sum_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{Poi}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\,$ .

Distribución binomial

La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, los parámetros n y $θ$ de una distribución binomial tienden a infito de manera que $\!\lambda=n\theta$ se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson.

Aproximación normal

Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de $λ$ , una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente

$Y = \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}$

converge a una distribución normal de media nula y varianza 1.

Distribución exponencial

Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Possion de parámetro λt. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribucion exponencial.

Ejemplos

Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas puede calcularse usando la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y , λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad deseada es

$\!P(5;8)= \frac{8^5e^{-8}}{5!}=0,092.$

Este problema también podría resolverse recurriendo a una distribución binomial de parámetros k = 5, n = 400 y $θ$ =0,02.

Procesos de Poisson

Artículo principal: Proceso de Poisson

La distribución de Poisson, se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3, ... veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución de Poisson incluyen:

El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
El número de servidores web accedidos por minuto.
El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.
El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.
El número de núcleos atómicos inestables que decayeron en un determinado periodo de tiempo en una porción de sustancia radiactiva. La radiactividad de la sustancia se debilitará con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe ser significativamente menor que la vida media de la sustancia.
El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.
La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.
La inventiva de un inventor a través de su carrera.

Véase también

Obtenido de "Distribuci%C3%B3n de Poisson"

Categoría: Distribuciones discretas

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