- Función localmente integrable
-
En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto compacto contenido en su dominio de definición. La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.
Definición formal
Más formalmente, sea
un conjunto abierto del espacio euclídeo
y sea
una función medible en el sentido de Lebesgue. Si la integral de Lebesgue:
es finita para todo conjunto compacto
, entonces f es una función localmente integrable. El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:
Propiedades
Teorema. Toda función
del espacio Lp(Ω),
, donde Ω es un conjunto abierto de
es localmente integrable. Para ver esto, basta considerar la función característica
de un conjunto compacto
de Ω: entonces, para
donde
- q es un número positivo tal que 1 / p + 1 / q = 1para un p dado tal que
- μ(K) es la medida de Lebesgue dek conjunto compacto K
Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:
Y por tanto:
Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:
la afirmación se sigue también para funciones fque pertenecen al espacio editar] Referencia
- Strichartz, Robert S. (2003) (en inglés). A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms. World Scientific Publishers. ISBN 981-238-430-8.
- q es un número positivo tal que 1 / p + 1 / q = 1para un p dado tal que
Wikimedia foundation. 2010.