Medida de Lebesgue

En matemáticas, la medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud, área, o volumen a los subconjuntos del espacio euclídeo. Se usa en el análisis real, especialmente para definir la integración de Lebesgue. Los conjuntos a los que se les puede asignar un tamaño se denominan Lebesgue-medibles, o medibles a secas si no hay ambigüedad sobre la medida; el volumen o medida de un conjunto Lebesgue-medible A se denota por λ(A). Un valor de ∞ para la medida de Lebesgue es perfectamente posible, pero aún en ese caso, si se asume el axioma de elección, no todos los conjuntos de Rⁿ son Lebesgue-medibles. El comportamiento "extraño" de los conjuntos no medibles da lugar a tales resultados como la paradoja de Banach-Tarski, una consecuencia del axioma de elección.

Ejemplos

• Si A es un intervalo cerrado [a, b], su medida de Lebesgue es la longitud b−a. El intervalo abierto ]a, b[ tiene la misma medida, pues la diferencia entre los dos conjuntos tiene medida cero.
• Si A es el producto cartesiano de dos intervalos [a, b] y [c, d], es un rectángulo cuya medida de Lebesgue es el área (b−a)·(d−c).
• El conjunto de Cantor es un ejemplo de conjunto no numerable con medida de Lebesgue cero.

Propiedades

La medida de Lebesgue en Rⁿ tiene las siguientes propiedades:

• Si A es un producto cartesiano de intervalos I₁ × I₂ × ... × I_n, es Lebesgue-medible y λ(A) = |I₁|·|I₂|·...·|I_n|, donde |I| denota la longitud del intervalo I.
• Si A es una unión disjunta de finitos o contables conjuntos Lebesgue-medibles, A mismo es Lebesgue-medible y λ(A) es igual a la suma (o serie infinita) de las medidas de los conjuntos correspondientes.
• Si A es Lebesgue-medible, también lo es su complemento.
• λ(A) ≥ 0 para todo conjunto Lebesgue-medible A.
• Si A y B son Lebesgue-medibles, y A ⊆ B, λ(A) ≤ λ(B) (consecuencia de los puntos anteriores).
• Las uniones e intersecciones contables de conjuntos Lebesgue-medibles son asimismo Lebesgue-medibles (consecuencia de los puntos anteriores).
• Si A es un subconjunto abierto o cerrado de Rⁿ, es Lebesgue-medible.
• La medida de Lebesgue es localmente finita e interna regular, y por lo tanto una medida de Radon.
• Si A es un conjunto Lebesgue-medible con λ(A) = 0 (o conjunto nulo), todo subconjunto de A es también un conjunto nulo.
• Si A es Lebesgue-medible y x es un elemento de Rⁿ, la traslación definida por A + x = {a + x : a ∈ A} es también Lebesgue-medible y, más aún, tiene la misma medida que A.

Lo anterior se puede resumir como sigue:

Los conjuntos Lebesgue-medibles forman una σ-álgebra que incluye todos los productos de intervalos, y λ es la única medida completa invariante por translación en esa σ-álgebra que cumple λ([0,1] × [0,1] × ... × [0,1]) = 1.

La medida de Lebesgue tiene también la propiedad de ser σ-finita.

Conjuntos de medida nula

Un subconjunto de Rⁿ se dice de medida nula, si para todo ε > 0 se puede recubrir con contables productos de n intervalos, cuyo volumen total es menor que ε. Todos los conjuntos numerables son de medida nula, así como los subconjuntos de Rⁿ de dimensión inferior a n (hiperplanos, por ejemplo líneas o curvas en R²).

Para demostrar que un conjunto arbitrario A es Lebesgue-medible, usualmente se intenta hallar un conjunto "más presentable" B cuya diferencia simétrica con A sea un conjunto nulo, y luego se demuestra que B se puede generar usando uniones e intersecciones numerables de conjuntos abiertos y cerrados.

Cuando una propiedad P se cumple en un conjunto X, excepto quizá en un subconjunto de X de medida nula, se dice que "la propiedad P se cumple en X casi en todas partes".

Construcción de la medida de Lebesgue

La construcción moderna de la medida de Lebesgue, basada en medidas exteriores, se debe a Constantin Carathéodory, y se realiza como sigue:

Para cualquier subconjunto B de Rⁿ, se puede definir

, y es una unión numerable de productos de intervalos.

Aquí, vol(M) es la suma de los productos de las longitudes de los intervalos usados. Se define entonces que un conjunto A es Lebesgue-medible si

para todo conjunto B. Estos conjuntos Lebesgue-medibles forman una σ-álgebra, y la medida de Lebesgue se define como λ(A) = λ^*(A) para todo conjunto medible A.

Existen, sin embargo, subconjuntos de R que no son medibles, por ejemplo el conjunto de Vitali.

Relación con otras medidas

La medida de Borel coincide con la de Lebesgue en los conjuntos para los que está definida; sin embargo, hay muchos más conjuntos Lebesgue-medibles que Borel-medibles. La de Borel es invariante por translación pero no completa.

La medida de Haar se puede definir en cualquier grupo topológico localmente compacto, y es una generalización de la medida de Lebesgue; Rⁿ con la suma es un grupo topológico localmente compacto.

La medida de Hausdorff es una generalización de la de Lebesgue, útil para medir los subconjuntos de Rⁿ de dimensión inferior a n, como variedades, superficies o curvas en R³, y conjuntos fractales.

Se puede demostrar que no hay un análogo en infinitas dimensiones de la medida de Lebesgue.

Historia

Henri Léon Lebesgue describió su medida en 1901, siguiéndole al año siguiente su descripción de la integración de Lebesgue. Ambas fueron publicadas como parte de su tesis en 1902.