Función zeta de Hurwitz

Función zeta de Hurwitz

En matemáticas, la función zeta de Hurwitz es una de las muchas funciones zetas. Se la define formalmente para un argumento complejo s y un argumento real q como

\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s}.

Esta sucesión es convergente para q > 0 y Re(s) > 1. Si q es un entero no-positivo se supone que los términos en la sucesión con denominador nulo no son considerados. Sin embargo, por lo general uno se limita a 0 < q ≤ 1, lo cual simplifica muchas de las fórmulas aplicables a esta función.

Notar que en realidad no hay nada que evite que la variable q sea compleja (en cuyo caso, Re(q)>0 es una restricción natural, aunque no sea una condición necesaria). Dicha extensión es necesaria para la fórmula de Schwinger para el ritmo de producción de pares de electrones (vide infra).

Contenido

Extensión analítica

La función zeta de Hurwitz puede tener una extensión analítica a una función meromórfica definida para todos los números complejos s con s ≠ 1. En s = 1 posee un polo simple con residuo 1. El término constante ésta dado por

\lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] = \frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q)

donde Γ es la función Gamma y ψ es la función digamma.

Representación de la sucesión

En 1930 Helmut Hasse encontró la representación en forma de sucesión convergente definida por q > −1 y para todo número complejo s ≠ 1:[1]

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}.

Esta sucesión converge uniformemente en un subconjunto compacto del plano s a una función entera. La suma interna debe ser comprendida como la n-ésima diferencia progresiva de q1 − s; o sea,

\Delta^n q^{1-s} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (q+k)^{1-s}

donde Δ es el operador diferencia progresiva. Por lo tanto, es válido que

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \Delta^n q^{1-s}
= \frac{1}{s-1} {\log(1 + \Delta) \over \Delta} q^{1-s}.

Representación integral

La función posee una representación integral en función de la transformada de Mellin. La misma es:

\zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^{qt}\left(1-e^{-t}\right)}dt

para \Re s>1 y \Re q >0.

Fórmula de Hurwitz

La fórmula de Hurwitz establece el siguiente teorema:

\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]

con

\beta(x;s)= 2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}= \frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix})

es una representación del zeta que es válido para 0\le x\le 1 y s > 1. Donde, Lis(z) es el polilogaritmo.

Referencias

  1. ↑ Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464.

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

  • Función zeta de Riemann — ζ(s) en el plano complejo. El color de un punto s codifica el valor de ζ(s): Colores fuertes denotan valores cercanos a 0 y el tono codifica el valor del argumento. El punto blanco en s=1 es el polo de la función zeta; los puntos negros en el eje …   Wikipedia Español

  • Función zeta de Lerch — En matematicas, la función zeta de Lerch, a veces llamada función zeta de Hurwitz Lerch, es una función especial que generaliza la función zeta de Hurwitz y el polilogaritmo. Ha sido designada en honor a Mathias Lerch [1]. Contenido 1 Definición… …   Wikipedia Español

  • Función zeta — Representación gráfica de la función Zeta de Riemann. Una función zeta es una función formada por una suma de infinitas potencias, o sea que se puede expresar mediante una Serie de Dirichlet: Ejemplos Existen varias …   Wikipedia Español

  • Función L de Dirichlet — En matemáticas , se llama serie L de Dirichlet, en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, a una función de la forma Donde χ es un carácter de Dirichlet y s una variable compleja cuya componente real es mayor que 1. Por medio de una… …   Wikipedia Español

  • Función polilogarítmica — El polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière) es una función especial definida por la siguiente serie: Esta no es, en general, una función elemental, aunque esté relacionada con la función logarítmica. La definición dada arriba es …   Wikipedia Español

  • Función poligamma — Diferentes gráficas de la función poligamma a lo largo del eje x. En naranja, para m=0, en amarillo, para m=1, en verde, para m=2, en rojo, para m=3 y en azul para m=4. En matemática, la función poligamma de orden m se define como la m ésima… …   Wikipedia Español

  • Función beta de Dirichlet — Este artículo trata sobre función beta de Dirichlet. Para otras funciones beta, véase Función beta (desambiguación). En matemática, la función beta de Dirichlet (también conocida como la función beta de Catalan) es una función especial,… …   Wikipedia Español

  • Función trigamma — Este artículo trata sobre la función trigamma. Para la función gamma triple, véase función gamma de Barnes. Trigamma function ψ1(z) in the complex plane. The color of a point z encodes the value of ψ1(z). Strong colors denote values close to zero …   Wikipedia Español

  • Constantes de Stieltjes — En matemáticas, las constantes de Stieltjes γk son los coeficientes de la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann: Las constantes de Stieltjes se definen por el siguiente límite (En el caso n = 0, el primer sumando requiere la …   Wikipedia Español

  • Polinomios de Bernoulli — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, los polinomios de Bernoulli Bn(x) se definen mediante la función generatriz: Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la función zeta de Riemann y de la función zeta… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”