Identidad de Parseval

Identidad de Parseval

En análisis matemático, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial, entonces

\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\sum_{v\in B}\left|\langle x,v\rangle\right|^2.

El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.

La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.

Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en foma compleja como real.

Forma compleja (o exponencial):

\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx = \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2

Forma real (o trigonométrica):

\frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)

Siendo T el periodo y cn, an, bn los coeficientes de Fourier complejo y reales respectivamente.

Véase también

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Mira otros diccionarios:

  • Parseval — Parseval, identidad de …   Enciclopedia Universal

  • Parseval, identidad de — ► MATEMÁTICAS Identidad que da la longitud de un vector, en un espacio vectorial que posee un producto interno, en función de dicho producto con los elementos de una base ortonormal …   Enciclopedia Universal

  • Relación de Parseval — En matemáticas, la Relación de Parseval demuestra que la Transformada de Fourier es unitaria; es decir, que la suma (o la integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o a la integral) del cuadrado de su transformada. Esta relación… …   Wikipedia Español

  • Historia de las ecuaciones diferenciales — Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2. En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por… …   Wikipedia Español

  • Serie de Fourier — Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar… …   Wikipedia Español

  • Operador unitario — En análisis funcional un operador unitario es un operador lineal U : H → H en un espacio de Hilbert que satisface: U * U = UU * = I donde U∗ es el operador adjunto de U, y I : H → H es el operador identidad …   Wikipedia Español

  • Desigualdad de Bessel — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, especialmente en análisis funcional, la desigualdad de bessel es una proposición acerca de los coeficientes de un elemento x en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal. Sea H un… …   Wikipedia Español

  • Integración — La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. Para otros usos de este término, véase Integración …   Wikipedia Español

  • Armónicos esféricos — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, los armónicos esféricos son funciones armónicas que representan la variación espacial de un conjunto ortogonal de soluciones de la ecuación de Laplace cuando la solución se expresa en coordenadas… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”