Operador unitario

Operador unitario

En análisis funcional un operador unitario es un operador lineal U : H → H en un espacio de Hilbert que satisface:

U * U = UU * = I

donde U∗ es el operador adjunto de U, y I : H → H es el operador identidad. Es equivalente a lo siguiente:

  1. El rango de U es un conjunto denso, y
  2. U conserva el producto escalar 〈  ,  〉 on el espacio de Hilbert , i.e. para todo vector x e y en el espacio de Hilbert,
\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle.

Para comprender esto hay que tener en cuenta que el hecho de que U conserve el producto escalar implica que U es una isometría. El hecho de que U tenga un rango denso asegura que tenga inverso U−1. Está claro que U−1 = U∗.

Además, los operadores unitarios son automorfismos del espacio de Hilbert i.e. preservan su estructura (en este caso, la estructura lineal del espacio, el producto escalar y por tanto la topología del espacio en el que actúan. El grupo de todos los operadores unitarios de un espacio de Hilbert dado H se denomina grupo de Hilbert de H, denotado Hilb(H)

La condición U∗U = I define la isometría. Otra condición U U∗ = I define la coisometría

Un elemento unitario es una generalización de un operador unitario. En una álgebra unitaria, un elemento U del álgebra se denomina unitario si:

U * U = UU * = I

donde I es el elemento identidad.

Contenido

Ejemplos

  • La función identidad es trivialmente un operador unitario
  • Rotaciones en R2 son los ejemplos más simples no triviales de operadore sunitarios. Las rotaciones no combian la longitud de un vector o el ángulo entre dos vectores. Este ejemplo se puede generalizar a Rn.
  • En el espacio vectorial C de los números complejos, la multiplicación por un número de norma 1, es decir, un número de la forma ei θ para θ ∈ R, es un operador unitario. θ se denomina la fase y a esta multiplicación se denomina multiplicación por una fase. Nótese que el valor de θ modulo 2π no afecta al resultado de la multiplicación, de modo que los operadores unitarios en C estan parametrizados en una circunferencia. El grupo correspondiente se denomina U(1).
  • En general, las matrices unitarias son precisamente los operadores unitarios en espacios de Hilbert de dimensión finita, de modo que la noción de operador unitario es la generalización de matriz unitaria. Las matrices ortogonales son un caso particular de matrices unitarias en las cuales todas las entradas son reales (son los operadores unitarios en Rn).
  • Los operador unitarios son empleados en representaciones unitarias.

Valores propios

Como consecuencia de su definición, los valores propios de un operador unitario son fases, es decir, números complejos de módulo unidad.

Demostración

Sea | a \rangle \,\! un vector propio de A con valor propio \lambda \,\!. Consideremos que hemos construido una base ortonormal de forma que \langle a_i | a_j \rangle = \delta _{i,j}\,\! . Entonces tenemos que:

\langle a | a \rangle = 1\,\!; podemos introducir la identidad A^\dagger A = I \,\!
\langle a | A^\dagger A a \rangle = 1\,\!; pasamos al bra el operador de la izquierda complejo-conjugado
\langle A a | A a \rangle = 1\,\!; aplicamos que A |a \rangle = \lambda |a \rangle\,\!
\langle \lambda a | \lambda a \rangle = 1\,\!; sacamos los valores propios teniendo en cuenta que el de la izquierda sale complejo-conjugado
\lambda ^* \lambda \langle a | a \rangle=1 ; como son ortonormales
\langle a | a \rangle = 1\,\!

Entonces | \lambda |^2 = 1\,\!; de donde deducimos que el valor propio debe ser una fase: \lambda = e^{i \phi} \,\!

Implicaciones en la mecánica cuántica

La aplicación en la mecánica cuántica que debe a que ciertos operadores, como el operador de evolución temporal, se les exige que al aplicarlos sobre un estado dejen invariante la probabilidad. Esto es posible debido a que estos operadores son unitarios. Veamoslo:

Sea | \psi (0) \rangle el estado inicial de un cierto sistema cuántico en notación bra-ket. El estado evolucionado en un tiempo t vendrá dado por la actuación del operador de evolución temporal U(t)= e^{-\mathrm{i}Ht / \hbar} de forma que

| \psi (t) \rangle = U(t) | \psi (0) \rangle .

Como U(t)\,\! es un operador unitario se cumple que U(t)^\dagger U(t) = U(t) U(t)^\dagger = I. Entonces:

\langle \psi (t) | \psi (t) \rangle = \langle U(t) \psi (0) | U(t) \psi (0) \rangle = \langle \psi (0) | U(t)^\dagger U(t) \psi (0) \rangle = \langle \psi (0) | \psi (0) \rangle

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

  • Unitario — El término unitario o unitaria puede referirse a los siguientes artículos: Contenido 1 Política 2 Matemáticas 3 Otros usos 4 Enlaces externos …   Wikipedia Español

  • Espectro de un operador — Saltar a navegación, búsqueda El espectro de un operador es un conjunto de valores complejos que generaliza el concepto de valor propio (autovalor) a espacios vectoriales de dimensión infinita. El concepto es muy importante tanto en análisis… …   Wikipedia Español

  • Grupo unitario — En matemáticas, el grupo unitario UK(n) de grado n, es el grupo de matrices unitarias (de n x n) cuyas componentes pertenecen al cuerpo K. Estas matrices, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. (Usualmente el cuerpo K… …   Wikipedia Español

  • Paridad (física) — En física, una transformación de la paridad (también llamada inversión de la paridad) es el cambio simultáneo en el signo de toda coordenada espacial: Una representación de una matriz 3×3 de P podría tener un determinante igual a 1, y por lo… …   Wikipedia Español

  • Hamiltoniano (mecánica cuántica) — El Hamiltoniano H tiene dos significados distintos, aunque relacionados. En mecánica clásica, es una función que describe el estado de un sistema mecánico en términos de variables posición y momento, y es la base para la reformulación de la… …   Wikipedia Español

  • Matriz unitaria — En matemática, una matriz unitaria es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición: donde es la matriz identidad y es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición… …   Wikipedia Español

  • Isometría — Una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva las distancias entre los puntos. Contenido 1 Definición 2 Ejemplos 3 Grupo de isometría 4 Véase también …   Wikipedia Español

  • Estado fundamental — En física, el estado fundamental de un sistema es su estado cuántico de menor energía. Un estado excitado es todo estado con una energía superior a la del estado fundamental. Si hay más de un estado de mínima energía, se dice que existe… …   Enciclopedia Universal

  • Transformada de Laplace — Para otros usos de este término, véase Transformación (desambiguación). La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s),… …   Wikipedia Español

  • Operadores de C y C++ — Esta es una lista de los grandes operadores de los lenguajes de programación C y C++. Todos los operadores listados existen en C++. La tercera columna indica si también están presentes en C. También hay que tener en cuenta que C no permite la… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”