Identidades logarítmicas

En matemática, hay muchas identidades logarítmicas.

Contenido

1 Identidades algebraicas
2 Identidades de cálculo
3 Véase también
4 Referencias
5 Enlaces externos

Identidades algebraicas

Con operaciones simples

Los logaritmos son generalmente utilizados para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, dos números pueden ser multiplicados utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$	porque	$b^m \cdot b^n = b^{m + n}$
$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$	porque	$\begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n}$
$\log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\,$	porque	$(b^n)^y = b^{ny} \!\,$
$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}$	porque	$\sqrt[y]{x} = x^{1/y}$

Cancelando exponentes

Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.

$b^{\log_b(x)} = x$	porque	$\mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,$
$\log_b(b^x) = x \!\,$	porque	$\log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,$

Cambio de base

$\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}$

Esta identidad es requerida para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadores sólo pueden procesar ln y log₁₀, pero no por ejemplo log₂. Para encontrar log₂(3), basta calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (ó bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

Demostración

A partir de un logaritmo tal que:

$y = \log_a b \rightarrow a^y = b$

Tomando $log c$ en ambos lados de la segunda ecuación:

$\log_c a^y = \log_c b \,$

Se despeja $y$ :

$y \log_c a = \log_c b \,$

$y = \frac{\log_c b}{\log_c a} \,$

Finalmente, como $y = log a b$ :

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Consecuencias

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$

$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

Identidades triviales

$\log_b1 = 0 \!\,$	porque	$b^0 = 1\!\,$
$\log_bb = 1 \!\,$	porque	$b^1 = b\!\,$

Identidades de cálculo

Límites

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{si } a > 1$

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty \quad \mbox{si } a < 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty \quad \mbox{si } a > 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty \quad \mbox{si } a < 1$

$\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0$

$\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0$

El último límite es sumarizado frecuentemente como "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier poder o raíz de x".

Derivadas de funciones logarítmicas

${d \over dx} \log_a x = {1 \over x \ln a} = {\log_a e \over x }$

Integrales de funciones logarítmicas

$\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C$

Para recordar integrales más grandes, es conveniente definir:

$x^{\left [ n \right ]} := x^{n}(\log(x) - H_n)$

Donde $H n$ es el n-ésimo número armónico. Así, las primeras serían:

$x^{\left [ 0 \right ]} = \log x$

$x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x$

$x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix} \, x^2$

$x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix} \, x^3$

Entonces,

$\frac {d}{dx} \, x^{\left [ n \right ]} = n \, x^{\left [ n-1 \right ]}$

$\int x^{\left [ n \right ]}\,dx = \frac {x^{\left [ n+1 \right ]}} {n+1} + C$

Véase también

Identidades trigonométricas

Referencias

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Identidades logarítmicas» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Mathwords: Logarithm

Categorías:

Identidad matemática
Logaritmos

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

Logaritmo — Logaritmos Gráfica de Logaritmos Definición … Wikipedia Español
Derivada logarítmica — Saltar a navegación, búsqueda En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo, la derivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula donde f ′ es la derivada de f. Cuando f es una función… … Wikipedia Español
Métodos de integración — Este artículo o sección necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo. Por favor, edítalo para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso. También puedes ayudar wikificando otros artículos o cambiando este … Wikipedia Español
Leonhard Euler — Retrato de Leonhard Euler, pintado por Johann Georg Bruck … Wikipedia Español
Serie de Lambert — En matemática, una serie de Lambert series, llamada así en honor a Johann Heinrich Lambert, es una serie que toma la forma Esta puede ser expresada formalmente mediante la expansión del denominador: donde los coeficientes de esta nueva serie… … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Identidades logarítmicas

Contenido

Identidades algebraicas

Con operaciones simples

Cancelando exponentes

Cambio de base

Consecuencias

Identidades triviales

Identidades de cálculo

Límites

Derivadas de funciones logarítmicas

Integrales de funciones logarítmicas

Véase también

Referencias

Enlaces externos

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Wikipedia Español

Identidades logarítmicas

Contenido

Identidades algebraicas

Con operaciones simples

Cancelando exponentes

Cambio de base

Consecuencias

Identidades triviales

Identidades de cálculo

Límites

Derivadas de funciones logarítmicas

Integrales de funciones logarítmicas

Véase también

Referencias

Enlaces externos

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Link directo