Identidades logarítmicas

En matemática, hay muchas identidades logarítmicas.

Contenido

1 Identidades algebraicas
2 Identidades de cálculo
3 Véase también
4 Referencias
5 Enlaces externos

Identidades algebraicas

Con operaciones simples

Los logaritmos son generalmente utilizados para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, dos números pueden ser multiplicados utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$	porque	$b^m \cdot b^n = b^{m + n}$
$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$	porque	$\begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n}$
$\log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\,$	porque	$(b^n)^y = b^{ny} \!\,$
$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}$	porque	$\sqrt[y]{x} = x^{1/y}$

Cancelando exponentes

Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.

$b^{\log_b(x)} = x$	porque	$\mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,$
$\log_b(b^x) = x \!\,$	porque	$\log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,$

Cambio de base

$\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}$

Esta identidad es requerida para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadores sólo pueden procesar ln y log₁₀, pero no por ejemplo log₂. Para encontrar log₂(3), basta calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (ó bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

Demostración

A partir de un logaritmo tal que:

$y = \log_a b \rightarrow a^y = b$

Tomando $log c$ en ambos lados de la segunda ecuación:

$\log_c a^y = \log_c b \,$

Se despeja $y$ :

$y \log_c a = \log_c b \,$

$y = \frac{\log_c b}{\log_c a} \,$

Finalmente, como $y = log a b$ :

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Consecuencias

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$

$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

Identidades triviales

$\log_b1 = 0 \!\,$	porque	$b^0 = 1\!\,$
$\log_bb = 1 \!\,$	porque	$b^1 = b\!\,$

Identidades de cálculo

Límites

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{si } a > 1$

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty \quad \mbox{si } a < 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty \quad \mbox{si } a > 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty \quad \mbox{si } a < 1$

$\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0$

$\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0$

El último límite es sumarizado frecuentemente como "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier poder o raíz de x".

Derivadas de funciones logarítmicas

${d \over dx} \log_a x = {1 \over x \ln a} = {\log_a e \over x }$

Integrales de funciones logarítmicas

$\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C$

Para recordar integrales más grandes, es conveniente definir:

$x^{\left [ n \right ]} := x^{n}(\log(x) - H_n)$

Donde $H n$ es el n-ésimo número armónico. Así, las primeras serían:

$x^{\left [ 0 \right ]} = \log x$

$x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x$

$x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix} \, x^2$

$x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix} \, x^3$

Entonces,

$\frac {d}{dx} \, x^{\left [ n \right ]} = n \, x^{\left [ n-1 \right ]}$

$\int x^{\left [ n \right ]}\,dx = \frac {x^{\left [ n+1 \right ]}} {n+1} + C$

Véase también

Identidades trigonométricas

Referencias

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Identidades logarítmicas» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Mathwords: Logarithm

Categorías:

Identidad matemática
Logaritmos

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Con operaciones simples

Cancelando exponentes

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