Inverso multiplicativo

Inverso multiplicativo
Para otros usos de este término, véase Función recíproca.
La función recíproca y = 1/x. Para cada valor de x (eje horizontal) excepto el 0, y (eje vertical) representa su inverso multiplicativo.

En matemática, el inverso multiplicativo, recíproco o inversa de un número x, es el número, denotado como 1⁄x ó x −1, que multiplicado por x da 1 como resultado.

El 0 no tiene inverso multiplicativo. Todo número complejo, salvo el 0, tiene un inverso que es un número complejo. El inverso de un número real también es real, y el de un número racional también es racional.

Para obtener una aproximación del inverso multiplicativo de x, empleando únicamente la multiplicación y la resta, se puede empezar con un número y (una primera aproximación), y reemplazar y por 2y-xy2. Una vez que la variación entre dos iteraciones sucesivas de y se haga lo suficientemente pequeña (y se mantenga pequeña), y será una aproximación del inverso de x.

Es decir:

  • Si tenemos Y/X su inverso multiplicativo es X/Y; o bien
  • Si tenemos X su inverso multiplicativo es 1/X.

Inverso multiplicativo en otros objetos matemáticos

El inverso multiplicativo es aplicable a distintos tipos de objetos matemáticos.

  • La inversa de una matriz es otra matriz, denominada matriz inversa, que al multiplicarse por la original es igual a la matriz identidad.
  • La inversa de una función es la resultante de despejar la variable independiente, convirtiéndola en dependiente. Gráficamente es un trazado paralelo a la recta diagonal y = x.
  • En las matemáticas constructivas, para que un número real x tenga inverso, no es suficiente que sea falso que x = 0. Además, debe existir un número racional r tal que 0 < r < |x|.

En cuanto al algoritmo de aproximación presentado en el párrafo anterior, esto es necesario para demostrar que la variación en y llegará a ser arbitrariamente pequeña.

  • En las aritmética modular, el inverso multiplicativo de x también está definido: es el número a tal que (a × x) mod n = 1. Sin embargo, este inverso multiplicativo sólo existe si a y n son primos entre sí. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 4, porque es la solución de (3 × x) mod 11 = 1. Un algoritmo empleado para el cálculo de inversos modulares es el Algoritmo extendido de Euclides.

Véase también


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