Álgebra elemental

El álgebra elemental es una fundamental y relativamente básica forma de álgebra enseñada a los estudiantes que se presumen tienen poco o nada de conocimiento formal de las matemáticas más allá de la aritmética. Mientras que en aritmética solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (como +, -, ×, ÷), en álgebra también se utilizan símbolos para denotar números (como x, y, a y b). Éstos son llamados variables. Esto es útil porque:

Permite la generalización de ecuaciones aritméticas (y de inecuaciones) para ser indicadas como leyes (por ejemplo $\, a + b = b + a$ para toda $\, a$ y $\ b$ ), y es así el primer paso al estudio sistemático de las propiedades del sistema de los números reales.
Permite la referencia a números que no se conocen. En el contexto de un problema, una variable puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede ser encontrado con la formulación y la manipulación de las ecuaciones.
Permite la exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades (por ejemplo, “si usted vende x boletos, entonces, su beneficio será 3x - 10 dólares”).

Estas tres son los hilos principales del álgebra elemental, que deben ser distinguidos del álgebra abstracta, un tema más avanzado enseñado generalmente a los estudiantes universitarios.

En álgebra elemental, una expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas. Por convención, éstos generalmente se escriben con los términos con exponente más altos a la izquierda (ver polinomio); algunos ejemplos son:

$x + 3\,$

$y^{2} + 2x - 3\,$

$z^{7} + a \cdot(b + x^{3}) + \frac{42}{y} - \pi.\,$

En un álgebra más avanzada, una expresión también puede incluir funciones elementales.

Una ecuación es la aseveración de que dos expresiones son iguales. Algunas ecuaciones son verdades para todos los valores de las variables implicadas (por ejemplo $\, a + b = b + a$ ); tales ecuaciones son llamadas identidades. Las ecuaciones condicionales son verdades para solamente algunos valores de las variables implicadas: $\, x^{2} - 1 = 4$ . Los valores de las variables que hacen la ecuación verdadera se llaman las soluciones de la ecuación.

Signos algebraicos

Signos de operación

Al igual que en la aritmética, en el álgebra se usan las operaciones de suma, resta, multiplicación, y división. Adicionalmente están las operaciones de potenciación, radicación y logaritmos.

Los signos de operación son:

Suma: +:

$a + b \;$ .

Resta: -:

$a - b \;$

Multiplicación: × o ·, o es implícito entre las variables:

$a \times b \; ; \quad a \cdot b \; ; \quad a \; b$

División: /, : o $\div$ :

$a / b \; ; \quad a : b \; ; \quad a \div b \; ; \quad \cfrac{a}{b}$

Potenciación: Es un pequeño número o letra arriba y a la derecha de una cantidad:

$a^b \; ; \quad e^a = \exp a$

Radicación:

$\sqrt{a} \; ; \quad \sqrt[b]{a}$

logaritmos:

$\ln a \; ; \quad \lg a \; ; \quad \log a \; ; \quad \log_b a$

Signos de relación

Indican la relación que hay entre dos expresiones. Los signos de relación son:

Menor que: <
Mayor que: >
Igual a: =

Signos de agrupación

Los signos de agrupación se usan para cambiar el orden de las operaciones. Las operaciones indicadas dentro de ellos deben realizarse primero.

Los signos de agrupación son:

Los paréntesis: ()
Los corchetes: []
Las llaves: {}
Las barras: ||

Si no tiene signo entre el número y el signo de agrupación, se tiene que realizar una multiplicación. ejemplo:

15{3-2} = + 15

Expresiones algebraicas

Término

Término es una expresión algebráica elemental donde se encuentran solo operaciones de multiplicación y división de números y letras. El número se llama coeficiente y las letras conforman la parte literal. Tanto el número como cada letra pueden estar elevados a una potencia. En una expresión algebraica con varios términos, éstos están separados con signos de suma y resta.

Término independiente

El término independiente es el que consta de solo un valor numérico y no tiene parte literal.

Términos semejantes

Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal (con las mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varían solo en el coeficiente. Solo se pueden sumar y restar términos semejantes. No se pueden sumar y restar términos que no sean semejantes, sin embargo, se puede multiplicar y dividir todo tipo de término. Si en una expresión algebraica hay varios términos semejantes, éstos se pueden simplificar sumándolos o restándolos.

Grado de un término

El grado de un término puede ser de dos tipos, grado absoluto y grado relativo.

Grado absoluto. Es la suma de los exponentes de cada letra de la parte literal.
Grado relativo. Se toma en cuenta con respecto a una letra, y es el exponente de esta letra.

Polinomio

Artículo principal: Polinomio

Es una expresión algebraica que contiene dos o más términos. Cuando el polinomio consta de uno, dos y tres términos se llama monomio, binomio y trinomio respectivamente.

Monomio: Es una expresión algebraica que contiene un solo término
Binomio : Es una expresión algebraica que contiene dos términos
Trinomio : Es una expresión algebraica que contiene tres términos

Valor numérico de un polinomio

Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos y luego realizar las operaciones del polinomio.

Leyes del álgebra elemental^[1]

Propiedades de las operaciones

La operación de adición (+)
- se escribe $\, a + b$
- es comutativa: $\, a + b = b + a$
- es asociativa: $\, (a + b) + c = a +(b + c)$
- tiene una operación inversa llamada sustracción: $\, (a + b)- b = a$ , que es igual a sumar un número negativo, $\, a-b = a +(-b)$
- tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma: $\, a + 0 = a$

La operación de multiplicación (×)
- se escribe $\, (a \times b)$ ó $\,( a \cdot b )$
- es conmutativa: $\, (a \cdot b )$ = $\, (b \cdot a)$
- es asociativa: $\, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
- es abreviada por yuxtaposición: $a \cdot b \equiv ab$
- tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división: $\frac{(ab)}{b} = a$ , que es igual a multiplicar por el recíproco, $\frac{a}{b} = a \left(\frac{1}{b} \right)$
- tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación: $a \times 1 = a$
- es distributiva respecto la adición: $\, (a + b) \cdot c = ac + bc$

La operación de potenciación
- se escribe $\, a^{b}$
- es una multiplicación repetida: $a^{n} = a \times a \times \ldots \times a$ (n veces)
- no es ni comutativa ni asociativa: en general $\, a^{b} \ne b^{a}$ y $\, (a^{b})^{c} \ne a^{(b^{c})}$
- tiene una operación inversa, llamada logaritmo: $\, a^{log_{a} b}= b = log_{a} a^{b}$
- puede ser escrita en términos de raíz n-ésima: $\ a^{m/n} \equiv (\sqrt[n]{a^{m}})$ y por lo tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema de números complejos)
- es distributiva con respecto a la multiplicación: $\, (a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}$
- tiene la propiedad: $\ {a^{b}} \cdot {a^{c}} = a^{b + c}$
- tiene la propiedad: $\, (a^{b})^{c} = a^{bc}$

Orden de las operaciones

Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden o precedencia de las operaciones. Primero se calcula los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las multiplicaciones y divisiones y por ultimo sumas y restas.

Propiedades de la igualdad

La relación de igualdad (=) es:

reflexiva: $\, a = a$
simétrica: si $\, a = b$ entonces $\, b = a$
transitiva: si $\, a = b$ y $\, b = c$ entonces $\, a = c$

Leyes de la igualdad

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

si $\, a = b$ y $\, c = d$ entonces $\, a + c = b + d$ y $\, ac = bd$
si $\,a = b$ entonces $\, a + c = b + c$
si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro.
regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si $\, a + c = b + c$ entonces $\, a = b$ .
regularidad condicional de la multiplicación: si $\, a \cdot c = b \cdot c$ y $\, c$ no es cero, entonces $\, a = b$ .

Leyes de la desigualdad

La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:

de transitividad: si $\, a < b$ y $\, b < c$ entonces $\, a < c$
si $\, a < b$ y $\, c < d$ entonces $\, a + c < b + d$
si $\, a < b$ y $\, c > 0$ entonces $\, ac < bc$
si $\, a < b$ y $\, c < 0$ entonces $\, bc < ac$

Regla de los signos

En el producto (cociente) de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:

$\begin{cases} + \cdot - = - \\ + \cdot + = + \\ - \cdot - = + \\ - \cdot + = - \end{cases}$

Referencias

↑ Mirsky, Lawrence, 1990, p.72-3

Bibliografía

Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions [1] 2006, [2] 1822.
Mirsky, Lawrence (1990): An Introduction to Linear Algebra, Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.
Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.

Véase también

Categoría:

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