Media aritmético-geométrica

Media aritmético-geométrica

La media aritmético-geométrica ( AGM arithmetic-geometric mean en inglés) M(x, y) de dos números reales positivos x e y se define de la siguiente forma. Primero obtenemos la media aritmética de x e y denominándola a1, i.e. a1 = (x+y) / 2. Después construimos la media geométrica de x e y denominadola g1, i.e. g1 es la raíz cuadrada de xy. Ahora podemos iterar esta operación con a1 en lugar de x y g1 en lugar de y. De esta forma , se definen dos |sucesiones (an) y (gn) :

a_{n+1} = \frac{a_n + g_n}{2} \quad \mbox{y} \quad g_{n+1} = \sqrt{a_n g_n}

Ambas sucesiones convergen al mismo número, denominado media aritmético-geométrica M(x, y) de x e y.

Se puede demostrar además que:

M(x,y) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K \left( \frac{x - y}{x + y} \right) }

donde K(x) es la integral elíptica completa de primera especie. Otra identidad interesante en la que interviene la media aritmética geométrica es la siguiente:

\frac{1}{M(x,y)} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta +b^2\sin^2\theta}} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{(a^2+t^2)(b^2+t^2)}}


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