Constante de Gauss

Constante de Gauss

En matemática, la constante de Gauss, denotada mediante la letra G, es definida como la inversa de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2:

G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})} = 0.8346268\dots

La constante es así llamada en honor a Carl Friedrich Gauss, quien el 30 de mayo de 1799, descubrió que

G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}

así pues:

G = \frac{1}{2\pi}\Beta(\begin{matrix} \frac{1}{4}\end{matrix}, \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix})

donde B denota la función beta de Euler.

Contenido

Relaciones con otras contantes

La constante de Gauss puede ser usada para expresar el valor particular de la función gamma si el argumento es 1/4:

\Gamma( \begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } }

y puesto que π y Γ(1/4) son algebraicamente independientes con Γ(1/4) e irracionales, la constante de Gauss es también un número trascendente.

Constantes de la lemniscata

La constantes de Gauss también puede ser usada en la definición de las constantes de la lemniscata; la primera de éstas es:

L_1\;=\;\pi G

y la segunda constante:

L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G}

las cuales se plantean en problemas de cálculo de longitud de arco de una lemniscata.

Otras fórmulas

Una fórmula que expresa G en términos funciones theta de Jacobi es la siguiente:

G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi})

También hay representaciones en forma de series de convergencia rápida, como puede ser la siguiente:

G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^{\infty} (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.

La constante puede ser expresada también mediante un producto infinito

G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).

así como en forma de fracción continua mediante la siguiente secuencia: [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

Referencias


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