Medida espectral

Medida espectral

En matemáticas, en especial en análisis funcional una medida espectral es una aplicación cuyo dominio es una σ-álgebra y cuyos valores son proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert. Medidas espectrales se utilizan en la teoría espectral de operadores autoadjuntos.

Definición formal

Sean

  • (X, \mathcal{A}) un espacio medible, es decir \mathcal{A} es una σ-álgebra de subconjuntos de X.
  • H \ un espacio de Hilbert.
  • \pi \ una aplicación de \mathcal{A} al conjunto de proyecciones ortogonales de H.

\pi \ es una medida espectral si y solamente si

  • \pi(X) = \operatorname{id}_H \quad
  • Si \{E_i: i \in \mathbb{N}\} es una sucesión de elementos de \mathcal{A} disjuntos entre si, entonces las proyecciones \{\pi(E_i): i \in \mathbb{N}\}\quad

son ortogonales entre si y

\pi(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \pi(E_i)

donde la convergencia en el sumatorio es en el sentido de la convergencia fuerte de operadores: O sea que para todo vector x \in H

\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \pi(E_k) x = \pi(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i) x

Referencias

  • G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
  • V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.

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