Medida espectral

En matemáticas, en especial en análisis funcional una medida espectral es una aplicación cuyo dominio es una σ-álgebra y cuyos valores son proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert. Medidas espectrales se utilizan en la teoría espectral de operadores autoadjuntos.

Definición formal

Sean

$(X, \mathcal{A})$ un espacio medible, es decir $\mathcal{A}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de $X$ .
$H \$ un espacio de Hilbert.
$\pi \$ una aplicación de $\mathcal{A}$ al conjunto de proyecciones ortogonales de $H$ .

$\pi \$ es una medida espectral si y solamente si

$\pi(X) = \operatorname{id}_H \quad$
Si $\{E_i: i \in \mathbb{N}\}$ es una sucesión de elementos de $\mathcal{A}$ disjuntos entre si, entonces las proyecciones $\{\pi(E_i): i \in \mathbb{N}\}\quad$

son ortogonales entre si y

$\pi(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \pi(E_i)$

donde la convergencia en el sumatorio es en el sentido de la convergencia fuerte de operadores: O sea que para todo vector $x \in H$

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \pi(E_k) x = \pi(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i) x$

Referencias

G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.

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